Question

如图，在菱形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，CG⊥AD于点G，交AF于点H．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求∠AHC的度数．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：（1）连接AC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AB=AC，然后判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出AE，然后利用菱形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据等边三角形的性质求出∠CAE，再求出∠CAF，从而得到∠EAF，然后求出AE∥CG，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．

解答：解：（1）如图，连接AC，∵E为BC的中点，AE⊥BC，
∴AB=AC，
又∵菱形的边AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AE=

3

2

AB=

3

2

×4=2

3

，
∴菱形ABCD的面积=BC•AE=4×2

3

=8

3

；

（2）在等边三角形ABC中，∵AE⊥BC，
∴∠CAE=

1

2

∠BAC=

1

2

×60°=30°，
同理∠CAF=30°，
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°，
∵AE⊥BC，CG⊥AD，AD∥BC，
∴AE∥CG，
∴∠AHC=180°-∠EAF=180°-60°=120°．

点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟记各性质并准确识图，作出辅助线构造成等边三角形是解题的关键．