Question

24、如图，已知：AD是△ABC中BC边的中线，则S_△ABD=S_△ACD，依据是

等底等高的三角形面积相等

规定；若一条直线l把一个图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线l叫做这个图形的等积直线．根据此定义，在图1中易知直线为△ABC的等积直线．
（1）如图2，在矩形ABCD中，直线l经过AD，BC边的中点M、N，请你判断直线l是否为该矩形的等积直线

是

（填“是”或“否”）．在图2中再画出一条该矩形的等积直线．（不必写作法）
（2）如图3，在梯形ABCD中，直线l经过上下底AD、BC边的中点M、N，请你判断直线l是否为该梯形的等积直线

是

（填“是”或“否”）．
（3）在图3中，过M、N的中点O任作一条直线PQ分别交AD，BC于点P、Q，如图4所示，猜想PQ是否为该梯形的等积直线？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）（2）直线l应该是矩形或梯形的等积直线，因为经过直线l分割后矩形或梯形的高都没变，而被分成的两部分中每一部分的长或上下底的和都是原来的一半，因此，每部分的面积都是矩形或梯形的面积的一半．因此直线l是矩形或梯形的等积直线．
（3）和（2）的思路是一样的，也是证明被直线分成的两部分中每部分的上下底的和是原来的一半来得出结论的，参考（2）的做法，可通过证明三角形POM和NOQ全等，得出PM=NQ来证得．

解答：解：依据是“等底等高的三角形面积相等”
（1）是．
（2）是．
（3）是．
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，PQ过M、N的中点O，
∴∠PMO=∠QNO，∠POM=∠QON，OM=ON．
∴△PMO≌△QNO．（ASA）
∴S_△PMO=S_△QNO．
由（2）可知，直线l为该梯形的等积直线．
由割补法可得

直线PQ为该梯形的等积直线．

点评：本题中主要考查了各图形的面积计算方法以及全等三角形的判定，依据（2）的思路通过全等三角形来得到（2）的条件是第（3）题解题的关键所在．