Question

利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．我们刚学过的《从面积到乘法公式》就很好地体现了这一思想方法，你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？
如图，一个边长为1的正方形，依次取正方形的，根据图示我们可以知道：第一次取走后还剩，即=1﹣；前两次取走+后还剩，即+=1﹣；前三次取走++后还剩，即++=1﹣；…前n次取走后，还剩　_________　，即　_________　=　_________　．
利用上述计算：
（1）=　_________　．
（2）=　_________　．
（3）2﹣2²﹣2³﹣2⁴﹣2⁵﹣2⁶﹣…﹣2²⁰¹¹+2²⁰¹²（本题写出解题过程）

Answer 1

，+++…=1﹣；
（1）1﹣  （2）1﹣  （3）6

试题分析：（1）根据题意画出图形，依次取正方形面积的，，…找出规律即可；
（2）根据题意画出图形，依次取正方形面积的，，…找出规律即可；
（3）根据同底数幂的乘法进行计算即可．
解：∵第一次取走后还剩，即=1﹣；
前两次取走+后还剩，即+=1﹣；
前三次取走++后还剩，即++=1﹣；
∴前n次取走后，还剩，即+++…=1﹣；
故答案为：，+++…=1﹣；
（1）如图所示：

由图可知，+++…+=1﹣．
故答案为：1﹣；
（2）如图是一个边长为1的正方形，根据图示

由图可知，+++…+=1﹣，
故答案为：1﹣；
（3）2﹣2²﹣2³﹣2⁴﹣2⁵﹣2⁶﹣…﹣2²⁰¹¹+2²⁰¹²
=2﹣2²⁰¹²（2^﹣2010+2^﹣2009+2^﹣2008+…+2^﹣1）+2²⁰¹²
=2﹣2²⁰¹²（1﹣2^﹣2010）+2²⁰¹²
=2﹣2²⁰¹²+4+2²⁰¹²
=6．
点评：本题考查的是整式的加减，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．