Question

5．如图1，在平面直角坐标系中，OA=7，OC=18，将点C先向上平移7个单位，再向左平移4个单位，得到点B，连接AB，BC．
（1）填空：点B的坐标为（14，7）；
（2）如图2，BF平分∠ABC交x轴于点F，CD平分∠BCO交BF于点D，过点F作FH⊥BF交BC的延长线于点H，试判断DC与FH的位置关系，并说明理由；
（3）若点P从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CO方向移动，同时点Q从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OA方向移动，设移动的时间为t秒（0＜t＜7），四边形OPBA与△OQB的面积分别记为S1，S2，是否存在一段时间，使S₁＜2S₂？若存在，求出t的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点C向左平移4单位长度再向上平移7个单位长度得到对应点B的坐标；
（2）结论：DC∥FH．只要证明CD⊥BF即可；
（3）先根据动点P、Q的速度表示出路程分别为：2t、t，再根据面积公式表示出S₁和S₂，代入S₁＜2S₂列不等式求t的取值范围，并与0＜t＜7相结合得出t的取值．

解答 解：（1）由题意点B的坐标（14，7）；
故答案为（14，7）．

（2）结论：PC∥FH．
理由如下：∵BF平分∠ABC
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC
∵CD平分∠BCO，
∴∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BCO
依题意得A（0，7），B（14，7），
∴AB⊥y轴，
∴AB∥OC
∴∠ABC+∠BCO=180°
∴∠FBC+∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BCO=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BCO）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠BPC=180°-（∠FBC+∠BCP）=90°
∴CP⊥BF，
∵FH⊥BF
∴PC∥FH．

（3）存在
如图3中，由（1）得B（14，7）
由题意得：PC=2t，OQ=t，则OP=18-2t，A（0，7），C（18，0），
S₁=$\frac{1}{2}$（AB+OP）×OA=$\frac{1}{2}$（14+18-2t）×7=-7t+112（6分）
S₂=$\frac{1}{2}$t×14=7t（7分）
∵要满足S₁＜2S₂
∴-7t+112＜2×7t（8分）
t＞$\frac{16}{3}$，
又∵0＜t＜7
∴当$\frac{16}{3}$＜t＜7时，S₁＜2S₂．

点评 本题是几何变换的综合题，平行线的性质、点的坐标与平移的关系，还考查了动点在运动过程中所形成的图形面积问题，此类题的解题思路为：先表示动点的路程，再根据图形形状直接或间接利用和、差表示图形面积．