Question

5．在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB．则点P到BC所在直线的距离是（　　）

• A． 1
• B． 1或$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． 1或$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Answer 1

分析 延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E，可得四边形CDPE是正方形，则CD=DP=PE=EC；等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，所以，可求出AC=1，AB=$\sqrt{2}$，又AB=AP；所以，在直角△AEP中，可运用勾股定理求得DP的长即为点P到BC的距离．

解答 解：①如图1，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E，
∵CP∥AB，
∴∠PCD=∠CBA=45°，
∴四边形CDPE是正方形，
则CD=DP=PE=EC，
∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AP，
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AP=$\sqrt{2}$；
∴在直角△AEP中，（1+EC）²+EP²=AP²
∴（1+DP）²+DP²=（$\sqrt{2}$）²，
解得，DP=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$；
②如图2，延长BC，作PD⊥BC，交点为D，延长CA，作PE⊥CA于点E，
同理可证，四边形CDPE是正方形，
∴CD=DP=PE=EC，
同理可得，在直角△AEP中，（EC-1）²+EP²=AP²，
∴（PD-1）²+PD²=（$\sqrt{2}$）²，
解得，PD=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$；
故选D．

点评 本题考查的是等腰直角三角形及勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了学生的空间想象能力．