Question

7．（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，求证：EF=BE+FD．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF=BE+FD，说明理由．
（3）如图3，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD延长线于F，请直接写出线段BC、CD与CE之间的数量关系为BC+CD=2CE（不需证明）

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．
（2）延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，再证△FAE≌△MAE，即可得出答案；
（3）由角平分线的性质得出AE=AF，由HL证明Rt△ABE≌Rt△ADF，得出BE=DF，同理：Rt△ACE≌Rt△ACF，得出CE=CF，即可得出结论．

解答 （1）证明：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，如图1所示：
则△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}&{\;}\\{∠GAF=∠FAE}&{\;}\\{AF=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴BE+DF=EF．
（2）解：∠BAD=2∠EAF．理由如下：
如图2所示，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠ABM=∠D}&{\;}\\{BM=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADF（SAS）
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}&{\;}\\{∠FAE=∠MAE}&{\;}\\{AF=AM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF．
（3）解：BC+CD=2CE；理由如下：
∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
同理：Rt△ACE≌Rt△ACF，
∴CE=CF，
∴BC+CD=BE+CE+CF-DF=2CE；
故答案为：BC+CD=2CE．

点评 此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．