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6.如图,已知AB为⊙O的直径,CD与⊙O相切于E,且与AB的延长线相交于点D,若BD=OB=2,则弦AE的长为2$\sqrt{3}$.

分析 连接OE,在RT△ODE中,先求出∠D,DE,∠DOE,再求出∠A,判断出∠A=∠D,即AE=DE即可.

解答 解:如图,

连接OE,BE,
∴OE=OA=OB=2,
∵CD与⊙O相切于E,
∴∠OED=90°,
在RT△ODE中,OE=2,OD=OB+BD=4,
∴tan∠D=$\frac{OE}{OD}$=$\frac{1}{2}$,DE=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$,
∴锐角∠D=30°,
∴∠DOE=60°,
∵OA=OE,
∴∠A=∠AEO=$\frac{1}{2}$∠DOE=30°,
∴AE=DE=2$\sqrt{3}$,
故答案为2$\sqrt{3}$.

点评 本题考查了切线的性质,切线的性质主要有,①圆的切线垂直于经过切点的半径.②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

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