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设三位数n=
.
abc
,若以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数有(  )
A、45个B、81个
C、165个D、216个
考点:整数问题的综合运用
专题:综合题
分析:先考虑等边三角形情况,则a=b=c=1,2,3,4,5,6,7,8,9,此时n有9个,再考虑等腰三角形情况,若a,b是腰,则a=b,列举出所有的情况,注意去掉不能构成三角形的结果,交换腰和底的位置,求和得到结果.
解答:解:由题意知以a、b、c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,
先考虑等边三角形情况,
则a=b=c=1,2,3,4,5,6,7,8,9,此时n有9个,
再考虑等腰三角形情况,若a,b是腰,则a=b,
当a=b=1时,c<a+b=2,则c=1,与等边三角形情况重复;
当a=b=2时,c<4,则c=1,3(c=2的情况等边三角形已经讨论了),此时n有2个;
当a=b=3时,c<6,则c=1,2,4,5,此时n有4个;
当a=b=4时,c<8,则c=1,2,3,5,6,7,有6个;
当a=b=5时,c<10,有c=1,2,3,4,6,7,8,9,有8个;
由加法原理知n有2+4+6+8+8+8+8+8=52个
同理,若a,c是腰时,c也有52个,b,c是腰时也有52个
所以n共有9+3×52=165个.
故选C.
点评:本题考查了整数问题的综合运用,解答本题的关键是根据所给的条件不重不漏的列举出所有的结果,注意数字要首先能够构成三角形,即满足两边之和大于第三边.
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