Question

16．已知：如图，直线y=-x+m分别与x轴交于点A（6，0），y轴交于点B，抛物线y=-x²+bx+c经过点A，B．
（1）求m的值和抛物线的解析式．
（2）若点P从点O向点A以每秒2个单位长度运动，设运动时间t（0＜t＜3）．
①若过点P作PM垂直x轴，交抛物线于点M，AB于点N，设点M，N两点之间的距离为s．请你用含t的代数式表示s，并求出当s取最大值时t的值．
②若点Q也同时从点B向点O以每秒3个单位长度运动，当运动到点O时点P、点Q都停止运动．连结BP、AQ，且交于点C，当∠ACP=45°时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）先将点A的坐标代入直线y=-x+m中，求出m，进而得出点B的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）①先表示出点P的坐标，进而表示出点M，N的坐标，即可得出s与t的函数关系式，即可得出结论；
②先判断出∠OBC=∠BAQ，再分别表示出tan∠DAQ=$\frac{DQ}{AD}$=$\frac{t}{4-t}$，tan∠OBP=$\frac{OP}{OB}$=$\frac{t}{3}$，建立方程即可求出时间t．

解答 解：（1）∵直线y=-x+m分别与x轴交于点A（6，0），
∴-6+m=0，
∴m=6，
∴B（0，6），
∵A（6，0），B（0，6）在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-36+6b+c=0}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+5x+5；

（2）①由运动知，P（2t，0），
∵PM⊥OA交抛物线于M，
∴M（2t，-4t²+10t+5），
∵PM⊥OA交直线y=-x+6于N，
∴N（2t，-2t+6），
∴s=MN=-4t²+10t+5-（-2t+6）=-4t²+12t-1=-4（t-$\frac{3}{2}$）²+8，
当t=$\frac{3}{2}$时，s最大=8；

②如图，
过点Q作QD⊥AB于Q，
∵A（6，0），B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴AB=6$\sqrt{2}$，∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠ABC+∠OBC=45°，
∵∠APC=45°，
∴∠BAQ+∠ABC=45°，
∴∠OBC=∠BAQ，
由运动知，BQ=3t，
∴OQ=6-3t，
在Rt△BDQ中，BQ=DQ=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t，
∴AD=AB-BD=6$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t，
在Rt△DAQ中，tan∠DAQ=$\frac{DQ}{AD}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}t}{6\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}t}$=$\frac{t}{4-t}$，
在Rt△OBP中，tan∠OBP=$\frac{OP}{OB}$=$\frac{2t}{6}$=$\frac{t}{3}$，
∴$\frac{t}{4-t}=\frac{t}{3}$，
∴t=1．
即：当t=1秒时，∠ACP=45°．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的性质，等式的性质，锐角三角函数，解（1）的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，解（2）的关键是方程的思想解决问题．