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如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数y=-x²的图象为l₁．
（1）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）；
（2）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为l₂，如图2，求抛物线l₂的函数解析式及顶点C的坐标；
（3）设P为y轴上一点，且S_△ABC=S_△ABP，求点P的坐标；
（4）请在图2上用尺规作图的方式探究抛物线l₂上是否存在点Q，使△QAB为等腰三角形？若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

分析：做这类题时要综合二次函数的图象，及等腰三角形的知识．

解答：解：（1）让抛物线过点A，即把点A的坐标代入计算，得到，b+c=-1，不过点B，则把点B的坐标代入得到3b+c≠8，依此两个要求，随便找一个数即可．故平移后的抛物线的一个解析式y=-x²+2x-3或y=-x²+4x-5等（满足条件即可）；（1分）

（2）设l₂的解析式为y=-x²+bx+c，联立方程组

-2=-1+b+c

-1=-9+3b+c

，
解得：b=

，c=-

，则l₂的解析式为y=-x²+

．（3分）
点C的坐标为（

，-

）．（4分）

（3）如答图1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，
则AD=2，CF=

，BE=1，DE=2，DF=

，FE=

．
得：S_△ABC=S_梯形ABED-S_梯形BCFE-S_梯形ACFD=

．（5分）
延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y=

，则点G的坐标为（0，-

），设点P的坐标为（0，h），
①当点P位于点G的下方时，PG=-

-h，连接AP、BP，
则S_△ABP=S_△BPG-S_△APG=-

-h，又S_△ABC=S_△ABP=

，得h=-

，点P的坐标为（0，-

）．（6分）
②当点P位于点G的上方时，PG=

+h，同理h=-

，点P的坐标为（0，-

）．
综上所述所求点P的坐标为（0，-

）或（0，-

）（7分）

（4）作图痕迹如答图2所示．
若AB为等腰三角形的腰，则分别以A、B为圆心，以AB长为半径画圆，交抛物线分别于Q₁、Q₂；
若AB为等腰三角形的底边，则作AB的垂直平分线，交抛物线分别于Q₃、Q₄，
由图可知，满足条件的点有Q₁、Q₂、Q₃、Q₄，共4个可能的位置．（10分）

点评：本题综合考查了二次函数的图象与平移的有关知识．

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（2）请写出平移后点A′的坐标，记作

（2，2）

．

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