Question

7．如图，AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，AB的延长线与PC交于点P，PC的延长线与AD交于点D，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥PC；
（2）连接BC，如果∠ABC=60°，BC=2，求线段PC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据角平分线的定义得到∠DAC=∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠ACO，推出AD∥OC，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到△BOC是等边三角形，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）连接OC，∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∴AD⊥PC；

（2）∵∠ABC=60°，OC=OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴OC=2，
∴∠COP=60°，
∵PC切⊙O于点C，
∴∠OCP=90°，
∴PC=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．