Question

已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．
（2）若使四边形DEFG变成矩形，请直接写出△ABC的边长应该满足的条件．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由三角形中位线的性质定理，可得ED∥BC，FG∥BC，且都等于边长BC的一半，则ED∥FG且ED=FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）当AB=AC时，?DEFG变成矩形．连接AO并延长交BC于点M，先由三角形中线的性质得出M为BC的中点，当AB=AC时，由等腰三角形三线合一的性质得出AM⊥BC，再由三角形中位线的性质及平行线的性质得出EF⊥FG，从而证明?EFGH是矩形．
解答：（1）证明：∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，
∴ED∥BC且ED=BC，
∵F、G分别是OB、OC的中点，
∴FG∥BC且FG=BC，
∴ED∥FG且ED=FG，
∴四边形DEFG是平行四边形．

（2）解：当AB=AC时，?DEFG变成矩形．理由如下：
连接AO并延长交BC于点M．
∵三角形的三条中线相交于同一点，△ABC的中线BD、CE交于点O，
∴M为BC的中点，
当AB=AC时，AM⊥BC，
∵E，F，G分别是AB，OB，OC的中点，
∴EF∥AO，FG∥BC，
∴EF⊥FG；
∴?EFGH是矩形．
点评：本题考查了平行四边形、矩形的判定，三角形的中位线性质定理，三角形中线的性质及等腰三角形的性质，其中三角形的中位线的性质定理为证明线段相等和平行提供了依据．