(1)证明:连接OC.
∵OA=OC(⊙O的半径),
∴∠OCA=∠OAC(等边对等角);
又∵AC平分∠BAD,
∴∠OAC=∠CAD,
∴∠ACO=∠CAD(等量代换),
∴OC∥AD(内错角相等,两直线平行);
而AD⊥CD,
∴OC⊥CD,即CD是⊙O的切线;
(2)解:∵AD⊥CD,
∴在Rt△ADC中,
AC=
=4,
连接BC,则∠ACB=90°
∵∠DAC=∠OAC
∴△ADC∽△ACB
∴
∴AB=
=
=
,
∴OB=
AB=
×
=
,
所以⊙O的半径为
.
(3)解:连接OE、OC,
则△OAE为等边三角形,
∴∠AOE=∠AEO=∠COE=60°,
∴扇形AOE的面积=扇形OCE的面积,
∴△AOE和梯形OCDE的高为:
•sin60°=
×
=2,
∴DE=AD-AE=2
-
=
,
所以图中阴影部分的面积=(扇形AOE的面积-△AOE的面积)+(梯形OCDE的面积-扇形OCE的面积)
=扇形AOE的面积-△AOE的面积+梯形OCDE的面积-扇形OCE的面积
=梯形OCDE的面积-△AOE的面积
=
×(
+
)×2-
×
×2=
(平方单位),
所以图中阴影部分的面积为
(平方单位).
分析:(1)连接OC,由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA,然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA,接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD,然后就得到OC⊥CD,由此即可证明直线CD是⊙O的切线;
(2)首先由勾股定理求出AC,再连接BC,根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°,又∠DAC=∠OAC,由此可以得到△ADC∽△ACB,然后利用相似三角形的性质即可解决问题;
(3)连接OE,OC,则三角形OAE为等边三角形,角COE为60度,阴影部分面积可以分别求出:上一部分:是个弓形,圆心角等于60度,半径已经求出,因而面积可以求出,下一部分,用梯形OCDE面积减去扇形OCE面积即可.
点评:此题主要考查了切线的性质与判定,解题时首先利用切线的判定证明切线,然后利用切线的性质及已知条件证明三角形相似即可解决问题.