【题目】已知抛物线与轴交于点,其关于轴对称的抛物线为:,且经过点和点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线沿轴向右平移得到抛物线,抛物线与轴的交点记为点和点(在的右侧),与轴交于点,如果满足与相似,请求出平移后抛物线的表达式.
【答案】(1)的解析式为;(2)平移后抛物线的表达式为或.
【解析】
(1)根据抛物线关于轴对称的原则可以得到均互为相反数,所以可以设:,同时经过点和点,那么也经过点和点,将这两点代入即可求解;
(2)首先根据函数图像的平移原则,设抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线
,继而写出的解析式,然后分别求出点和点的坐标,再结合与相似,可得△DOQ为等腰直角三角形,利用坐标建立方程,求解即可.
解:(1)抛物线和抛物线关于轴对称,且:,
: ,
经过点和点,
经过点和点,
把点和点代入:可得:
,
解得:,
:;
(2)设抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线,
:,
的解析式可以表示为:
,
抛物线与轴的交点为点和点,且在的右侧,
,
抛物线与轴交于点,
,
∵A(-3,0),C(0,3),
∴△AOC为等腰直角三角形,
∴当△AOC和△DOQ相似时,
△DOQ为等腰直角三角形,
∴OQ=OD,
当点Q在y轴正半轴上时,
OQ=OD=OA=OC,
∴,
解得:a=0(舍)或2,
此时:;
当点Q在y轴负半轴时,
OD=OQ,
则,
解得:a=-1(舍)或4,
此时:;
综上:平移后抛物线W3的表达式为:或.
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【题目】如图,中,,是边上一动点,连接,作交于,已知,,设的长度为,的长度为.
小青同学根据学习函数的经验对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小青同学的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量,分别得到了的几组对应值:
0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 6 | |
0 | 1.56 | 2.24 | 2.51 | 2.45 | 2.24 | 1.96 | 1.63 | 1.26 | 0.86 | 0 |
(说明:补全表格时相关数据保留一位小数)
的值约为__________;
(2)在平面直角坐标系中,描出已补全后的表格中各组数值所对应的点,画出该函数的图象;
(3)结合画出的函数图象,解决问题:
①当时,对应的的取值范围约是_____________;
②若点不与,两点重合,是否存在点,使得?________________(填“存在”或“不存在”)
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【题目】如图,中,点与点在的同侧,且.
(1)如图1,点不与点重合,连结交于点.设求关于的函数解析式,写出自变量的取值范围;
(2)是否存在点,使与相似,若存在,求的长;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,过点作垂足为.将以点为圆心,为半径的圆记为.若点到上点的距离的最小值为,求的半径.
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【题目】把八个完全相同的小球平分为两组,每组中每个分别写上1,2,3,4四个数字,然后分别装入不透明的口袋内搅匀,从第一个口袋内取出一个数记下数字后作为点P的横坐标x,然后再从第二个口袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标,则点P(x,y)落在直线y=﹣x+5上的概率是( )
A. B. C. D.
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【题目】已知中,过其中一个顶点的直线把分成两个等腰三角形.
(1)如图1,若求的值;
(2) 度(除外) ;
(3)如图2,为锐角,在延长线上,在边上,平分交于请求线段三者之者的数量关系. (用表示)
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【题目】如图,已知正方形ABCD的边长是2,∠EAF=m°,将∠EAF绕点A顺时针旋转,它的两边分别交BC、CD于点E、F,G是CB延长线上一点,且始终保持BG=DF.
(1)求证:△ABG≌△ADF;
(2)求证:AG⊥AF;
(3)当EF=BE+DF时:
①求m的值;
②若F是CD的中点,求BE的长.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=.(其中mk≠0)图象交于A(﹣4,2),B(2,n)两点.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)求△ABO的面积;
(3)请直接写出当一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围.
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【题目】正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在射线DC,DA上运动,且DE=DF.连接BF,作EH⊥BF所在直线于点H,连接CH.
(1)如图1,若点E是DC的中点,CH与AB之间的数量关系是 ;
(2)如图2,当点E在DC边上且不是DC的中点时,(1)中的结论是否成立?若成立给出证明;若不成立,说明理由;
(3)如图3,当点E,F分别在射线DC,DA上运动时,连接DH,过点D作直线DH的垂线,交直线BF于点K,连接CK,请直接写出线段CK长的最大值.
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