Question

在如图所示的直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，D为x轴上一点，连接BD交y轴于E点，且tan∠CBE=

1

3

．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过A、C、D三点，顶点为F．
（1）求D点坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；
（3）在直线DB上是否存在点P，使四边形PFDO为梯形？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要求D点坐标需要知道OD的长，在直角三角形ABD中，已知了AB的长，而根据BC∥DA可得出∠CBE=∠ADB，即可得出∠ADB的正切值，由此可求出AD，由于OA是正方形的边长，因此可求出OD的长．也就得出了D点的坐标．
（2）已知了正方形的边长，即可求出A、C的坐标，在（1）中得出了D点的坐标，因此可用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可用配方法或公式法求出抛物线顶点F的坐标．
（3）可先求出直线BD的解析式，然后分两种情况求解：
①PF∥OD，可得出P、F的纵坐标相同，将F点纵坐标代入直线BD的解析式中即可求出P点的坐标，然后判定PF是否与OD相等即可．如果PF=OD，则说明四边形PFDO是平行四边形，不是梯形，反之则是梯形．
②PO∥DF，可根据直线BD的解析式设P点坐标（先设横坐标，然后根据直线BD的解析式表示出纵坐标），由于PO∥DF，因此∠FDO与∠POA的正切值相同，据此可求出P点坐标，后面同①．

解答：解：（1）AD=6，D点坐标为（-4，0）．

（2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x+4），已知抛物线过C（0，2），
则有：2=a（0-2）（0+4），
解得a=-

1

4

．
∴抛物线的解析式为y=-

1

4

x²-

1

2

x+2，
顶点坐标为（-1，

9

4

）．

（3）在直线DB上存在点P，使四边形PFDO为梯形，
直线DB的解析式为y=

x

3

+

4

3

．
①若PF∥OD
当y=

9

4

时
即x=

11

4

．P₁（

11

4

，

9

4

）
此时PF≠OD
所以四边形PFDO不是平行四边形，PO与FD不平行所以四边形PFDO是梯形．（10分）
②若PO∥FD，
设P点横坐标为m，则纵坐标为

m

3

+

4

3

．过P作PG⊥x轴于G，抛物线对称x=-1与x轴交于K．
tan∠FDK=tan∠POG
解之，得m=

16

5

，经检验m=

16

5

是原方程的根．
P₂（

16

5

，

12

5

）
OP=

15

4

，DF=

16

5

因为OP≠DF，
所以四边形PFDO不是平行四边形，PF与OD不平行．
所以四边形PFDO是梯形．
在直线DB上存在点P₁（

11

4

，

9

4

），P₂（

16

5

，

12

5

），使四边形PFDO为梯形．

点评：本题考查了正方形的性质、三角函数的应用、二次函数解析式的确定、梯形的判定等知识点．
要注意（3）题中，梯形的定义是一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，因此不要遗漏另一组对边不平行的判定条件．