Question

【题目】如图，二次函数与x轴交于点B和点A（-1,0），与y轴交于点C，与一次函数交于点A和点D.

1.求出的值；

2.若直线AD上方的抛物线存在点E，可使得△EAD面积最大，求点E的坐标；

3.点F为线段AD上的一个动点，点F到（2）中的点E的距离与到y轴的距离之和记为d，求d的最小值及此时点F的坐标.

Answer 1

【答案】（1）a=1；b=3；c=4. （2）当m=1时，最大值为6，此时点E的坐标为（1,6）（3）d的最小值为5,F点的坐标为（1，2）.

【解析】

（1）根据图形可以看出点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），代入二次函数的解析式中，即可得出b、c的值,将点A（－1，0）代入一次函数中，即可求得a的值；
（2）设点E的横坐标为m，则可得出点E的纵坐标为-m2+3m+4．过点E作x轴的垂线l，交x轴于点G，交AD于点H，则点H的坐标为（m，m+1）．过点D作l的垂线，垂足为T；联立直线方程和二次函数方程，即可得出D的坐标，再根据S△AED=S△AEH+S△HED，得出含m的函数，利用a的取值范围，可知，当m=1时，即可得出最大值，从而可得出E的坐标；
（3）过A作y轴的平行线AS，过F作FG⊥y轴交AS于点M，过F作FN⊥x轴于N，结合已知，可得出FM=FN，即有d=FE+FM-1=FE+FN-1，可知当N、F、E所在直线与x轴垂直时，d=FE+FN-1最小，即可得出F的坐标．

（1）∵点C（0，4），B（4，0）在函数的图象上，

∴

解得：b=3,c=4,

∵点A（－1，0）在一次一次函数y=x+a上，

∴0＝-1+a,

∴a=1.

所以a=1,b=3,c=4.

（2）设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为.过点E作x轴的垂线l，交x轴于点G，交AD于点H，则点H的坐标为.过点D作l的垂线，垂足为T.

将与联立组成方程组，解得点D的坐标为（3,4）.

所以

∵a=＜0，

∴有最大值.当m=1时，最大值为6，此时点E的坐标为（1,6）

（3）过A作y轴的平行线AS，过F作FG⊥y轴交AS于点M，过F作FN⊥x轴于N,如图所示：

∵点D的坐标为（3,4），点A坐标为（-1,0）

∴∠DAB=45°

∴AD平分∠SAB，

∴FM="FN"

∴d =FE+FM-1=FE+FN-1

显然，当N、F、E所在直线与x轴垂直时，d=FE+FN-1最小，最小值为6-1=5.

此时点F的横坐标为1，代入得F点的坐标为（1，2）.