Question

【题目】已知抛物线y＝－x2＋2mx－m2＋的顶点为P．

（1）求证：不论m取何值，点P始终在同一个反比例函数图象上？

（2）若抛物线与x轴交于A、B两点，当m为何值时，线段AB长等于8？

（3）该抛物线上是否存在一点Q，使得△OPQ是以点P为顶点的等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）±1．

【解析】

（1）先求出二次函数的顶点坐标，根据反比例函数性质即可得出结论；（2）把y=0代入函数解析式得到关于m的一元二次方程，再由m>0,即可求解；（3）分m>0,m<0,两种情况讨论即可.

本题解析：

（1）证明：∵y＝－x2＋2mx－m2＋，∴y＝－（x－m）2＋，∴P（m，）．

∵m×＝1，∴点P始终在图象上

（2）把y＝0代入y＝－x2＋2mx－m2＋中

－x2＋2mx－m2＋＝0

（x－m）2＝

当m＞0时，x＝m±，∴AB＝，∴m＝．

（3）①当m＞0，∠OPQ＝90°时

如图，可证△OPM≌△PQN．

∵P（m，），∴Q（m＋，－m）（注：抛物线开口向下，只有这一种情况）

∴－m＝－（m＋－m）2＋，解得m＝1．

②当m＜0，∠OPQ＝90°时

∵P（m，），∴Q（m－，＋m） （注：抛物线开口向下，只有这一种情况）

∴＋m＝－（m－－m）2＋，解得m＝－1．

综上所述：m的值为±1．