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【题目】在四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 O 的两条直线分别交边 AB、CD、AD、BC 于点 E、F、G、H.

(感知)如图,若四边形 ABCD 是正方形,且 AG=BE=CH=DF,则 S 四边形AEOG S 正方形 ABCD

(拓展如图②,若四边形 ABCD 是矩形 S 四边形 AEOGS 矩形 ABCD AB=a, AD=b,BE=m, AG 的长用含 a、b、m 的代数式表示);

(探究)如图,若四边形 ABCD 是平行四边形,且 AB=3,AD=5,BE=1, 试确定 F、G、H 的位置,使直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分.

【答案】【感知】【拓展】AG=;【探究】当 AG=CH=,BE=DF=1 时,直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分.

【解析】

感知如图①,根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论;

拓展如图②,过OONADN,OMABM,根据图形的面积得到mb= AGa,于是得到结论;

探究如图③,过OKLAB,PQAD,则KL=2OK,PQ=2OQ,根据平行四边形的面积公式得到,根据三角形的面积公式列方程即可得到结论.

感知如图①

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠OAG=OBE=45°,OA=OB,

在△AOG与△BOE中,

∴△AOG≌△BOE,

S四边形AEOG=SAOBS正方形 ABCD

故答案为:

拓展如图②,过OONAD N,OMABM,

SAOBS矩形ABCD,S四边形AEOGS矩形ABCD

SAOB=S四边形AEOG

SAOB=SBOE+SAOE,S四边形AEOG=SAOG+SAOE

SBOE=SAOG

SBOEBEOM=b=mb,SAOGAGON=AGa=AGa,

mb=AGa,

AG=

探究如图③,过OKLAB,PQAD,

KL=2OK,PQ=2OQ,

S平行四边形ABCD=ABKL=ADPQ,

3×2OK=5×2OQ,

SAOBS平行四边形ABCD,S四边形AEOGS平行四边形ABCD

SAOB=S四边形AEOG

SBOE=SAOG,

SBOEBEOK=×1×OK,SAOGAGOQ,

×1×OK=AGOQ,

=AG=

∴当AG=CH=,BE=DF=1时,直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分.

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