【题目】在四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 O 的两条直线分别交边 AB、CD、AD、BC 于点 E、F、G、H.
(感知)如图①,若四边形 ABCD 是正方形,且 AG=BE=CH=DF,则 S 四边形AEOG= S 正方形 ABCD;
(拓展)如图②,若四边形 ABCD 是矩形,且 S 四边形 AEOG=S 矩形 ABCD,设 AB=a, AD=b,BE=m,求 AG 的长(用含 a、b、m 的代数式表示);
(探究)如图③,若四边形 ABCD 是平行四边形,且 AB=3,AD=5,BE=1, 试确定 F、G、H 的位置,使直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分.
【答案】【感知】;【拓展】AG=;【探究】当 AG=CH=,BE=DF=1 时,直线 EF、GH 把四边形 ABCD 的面积四等分.
【解析】
感知:如图①,根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论;
拓展:如图②,过O作ON⊥AD于N,OM⊥AB于M,根据图形的面积得到mb= AGa,于是得到结论;
探究:如图③,过O作KL⊥AB,PQ⊥AD,则KL=2OK,PQ=2OQ,根据平行四边形的面积公式得到= ,根据三角形的面积公式列方程即可得到结论.
感知:如图①,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠OAG=∠OBE=45°,OA=OB,
在△AOG与△BOE中,,
∴△AOG≌△BOE,
∴S四边形AEOG=S△AOB=S正方形 ABCD;
故答案为:;
拓展:如图②,过O作ON⊥AD于 N,OM⊥AB于M,
∵S△AOB=S矩形ABCD,S四边形AEOG=S矩形ABCD,
∴S△AOB=S四边形AEOG,
∵S△AOB=S△BOE+S△AOE,S四边形AEOG=S△AOG+S△AOE,
∴S△BOE=S△AOG,
∵S△BOE=BEOM=m·b=mb,S△AOG=AGON=AGa=AGa,
∴mb=AGa,
∴AG=;
探究:如图③,过O作KL⊥AB,PQ⊥AD,
则 KL=2OK,PQ=2OQ,
∵S平行四边形ABCD=ABKL=ADPQ,
∴3×2OK=5×2OQ,
∴=,
∵S△AOB=S平行四边形ABCD,S四边形AEOG=S平行四边形ABCD,
∴S△AOB=S四边形AEOG,
∴S△BOE=S△AOG,
∵S△BOE=BEOK=×1×OK,S△AOG=AGOQ,
∴×1×OK=AGOQ,
∴=AG=,
∴当AG=CH=,BE=DF=1时,直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分.
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【题目】为调查达州市民上班时最常用的交通工具的情况,随机抽取了部分市民进行调查,要求被调查者从“A:自行车,B:电动车,C:公交车,D:家庭汽车,E:其他”五个选项中选择最常用的一项.将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图,请结合统计图回答下列问题.
(1)本次调查中,一共调查了 名市民;扇形统计图中,B项对应的扇形圆心角是 度;补全条形统计图;
(2)若甲、乙两人上班时从A,B,C,D四种交通工具中随机选择一种,请用列表法或画树状图的方法,求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率.
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【题目】如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=﹣5x2+20x,请根据要求解答下列问题:
(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行时间是多少?
(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?
(3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?
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【题目】综合与实践:问题情境:在一次综合实践活动课上,同学们以菱形为对象,研究菱形旋转中的问题:已知,在菱形中,为对角线,,,将菱形绕顶点顺时针旋转,旋转角为(单位).旋转后的菱形为.在旋转探究活动中提出下列问题,请你帮他们解决.
(1)如图1,若旋转角,与相交于点,与相交于点.请说明线段与的数量关系;
(2)如图2,连接,菱形旋转的过程中,当与互相垂直时,的长为______;
(3)如图3,若旋转角为时,分别连接,,过点分别作,,连接,菱形旋转的过程中,发现在中存在长度不变的线段,请求出长度;
操作探究:(4)如图4,在(3)的条件下,请判断以,,三条线段长度为边的三角形是什么特殊三角形,并说明理由.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别相为点D、E、F,设△ABC的面积、周长分别为S、l,⊙O的半径为r,则下列等式:
①∠AED+∠BFE+∠CDF=180°;②S=l r;③2∠EDF=∠A+∠C;④2(AD+CF+BE)=l,其中成立的是( )
A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②③
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【题目】如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC相交于点D,E,BD=CD,过点D作⊙O的切线交边AC于点F.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半径为5,∠CDF=30°,求的长(结果保留π).
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【题目】已知:如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点.
(1)求证:四边形BCDE是菱形.
(2)若AD=6,BD=8,求四边形BCDE的周长和面积.
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