Question

如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D．
（1）求点B的坐标；
（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且

BD

BA

=

5

8

，求这时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）过B作BQ⊥OA于Q易得∠COA=∠BAQ=60°，在Rt△BQA中，根据三角函数的定义可得QB的长，进而可得OQ的长；即可得B的坐标；
（2）分点P在x正半轴上与x负半轴上上两种情况讨论，结合等腰三角形的性质，可得OP、OC的长，进而可得答案；
（3）根据题意易得△COP∽△PAD，进而可得比例关系

OP

AD

=

OC

AP

，代入数据可得答案．

解答：解：（1）过B作BQ⊥OA于Q，则∠COA=∠BAQ=60°，
在Rt△BQA中，QB=ABsin60°=2

3

，
QA=

AB2-BQ2

=

42-(2 3 )2

=2，
∴OQ=OA-QA=7-2=5．
∴B（5，2

3

）．

（2）①当OC=OP时，若点P在x正半轴上，
∵∠COA=60°，△OCP为等腰三角形，
∴△OCP是等边三角形．
∴OP=OC=CP=4．
∴P（4，0）．
若点P在x负半轴上，
∵∠COA=60°，
∴∠COP=120°．
∴△OCP为顶角120°的等腰三角形．
∴OP=OC=4．
∴P（-4，0）
∴点P的坐标为（4，0）或（-4，0）．
②当OC=CP时，由题意可得C的横坐标为：4×cos60°=2，
∴P点坐标为（4，0）
③当OP=CP时，
∵∠COA=60°，
∴△OPC是等边三角形，同①可得出P（4，0）．
综上可得点P的坐标为（4，0）或（-4，0）．

（3）∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60°，
∴∠OPC+∠DPA=120°．
又∵∠PDA+∠DPA=120°，
∴∠OPC=∠PDA．
∵∠COP=∠A=60°，
∴△COP∽△PAD．
∴

OP

AD

=

OC

AP

．
∵

BD

AB

=

5

8

，AB=4，
∴BD=

5

2

，
AD=

3

2

．
即

OP

3 2

=

4

7-OP

．
∴7OP-OP²=6得OP=1或6．
∴P点坐标为（1，0）或（6，0）．

点评：本题是一道动态几何压轴题，对学生的分类思想作了重点的考查，是一道很不错的题．