Question

10、在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．这样的点一共有（　　）

A、1个

B、4个

C、7个

D、10个

Answer 1

分析：本题利用了等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线．

解答：解：在等边△ABC中，三条边上的高交于点O，
由于等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线，
点O到三个顶点的距离相等，△ADB，△BOC，△AOC是等腰三角形，则点O是满足题中要求的点，
高与顶角的的两条边成的锐角为30°，以点A为圆心，AB为半径，做圆，延长AO交圆于点E，
由于点E在对称轴AE上，有EC=EB，AE=AC=AB，△ECB，△AEC，△ABE都是等腰三角形，点E也是满足题中要求的点，
作AD⊥AB交圆于点D，则有AC=AD，AD=AB，即△DAB，△ADC是等腰三角形，点D也是满足题中要求的点，同理，作AF⊥AC交圆于点F，则点F也是满足题中要求的点；
同理，以点B为圆心，AB为半径，做圆，
以点C为圆心，AB为半径，做圆，都可以分别得到同样性质的三个点满足题中要求，
于是共有10个点能使点与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．
故选D．

点评：本题容易找出三条边上的高交于点O，是满足题中要求的点，其它点容易漏掉，这样的点不一定是等腰三角形的顶角所在的点，也可以是底角所在的点，明白这点后，就要做圆来找到所要求的点．