Question

已知一次函数y1＝2x，二次函数y2＝x2＋1． (1) 根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1，y2，并填在表格中： (2) 观察问题(1)表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立； (3) 试问，是否存在二次函数y3＝ax2十bx＋c，其图象经过点(－5，2)，且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≤y3≤y2均成立，若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	填表如下：
(2)	证明：因为y1－y2＝2x－(x2＋1)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，所以当
(3)	解：由已知，二次函数y3＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－5，2)，得25a－5b＋c＝2①．因为当x＝1时，y1＝y2＝2，y3＝a＋b＋c，若对于自变量x取任意实数时，y1≤y3≤y2成立，则有2≤a＋b十c≤2，所以a＋6＋c＝2②．由①②，得b＝4a，c＝2－5a，所以y3＝ax2＋4ax＋(2－5a)．当y1≤y3时，有2x≤ax2＋4ax＋(2－5)，即ax2＋(4a－2)x＋(2－5a)≥0，若二次函y＝ax2＋(4a－2)x＋(2－5a)对于一切实数x，函数值大于或等于零，必须即所以a＝，当y3≤y2时，有ax2＋4ax＋(2－5a)≤x2＋1，即(1－a)x2－4ax＋(5a－1)≥0，若二次函数y＝(1－a)x2－4ax＋(5a－1)对于一切实数x，函数值大于或等于零，必须即所以a＝．综上，a＝，b＝4a＝，c＝2－5a＝．所以存在二次函数y3＝x2＋x＋，在实数范围内，对于x的同一个值y1≤y3≤y2均成立． 　　解题指导：本题考查二次函数和一次函数表达式的有关知识．第(3)小题要充分利用所给条件列不等式和方程，从而解出二次函数表达式中的各个系数．