Question

12．如图1抛物线y=ax²+bx+c过 A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．

（1）求抛物线解析式；
（2）点C，D关于抛物线对称轴对称，求△BCD的面积；
（3）如图2，过点E（1，-1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ（点M、N、Q分别与A、E、F对应）使得M、N在抛物线上，求M、N的坐标．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得抛物线对称轴，可求得D点坐标，则可求得△BCD的面积；
（3）由旋转知△MNQ≌△AEF，设N点坐标为（m，n），则可表示出M点坐标，把M、N的坐标代入抛物线解析式可得到关于m、n的方程组，可求得m、n的值，则可求得M、N的坐标．

解答 解：
（1）抛物线y=ax²+bx+c过 A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，
∴可设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
把C（0，2）代入得2=a（0+1）（0-4），解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）抛物线对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{\frac{3}{2}}{2×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{3}{2}$，
∵点 C（0，2），D关于抛物线对称轴对称，
∴D（3，2），
∴CD=3，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•OC=$\frac{1}{2}$×3×2=3；
（3）∵A（-1，0），E（1，-1），EF⊥x轴于点F，
∴AF=2，EF=1
如图2，由旋转知△MNQ≌△AEF，

∴MQ=AF=2，NQ=EF=1，
且MQ∥x轴，NQ⊥x轴，
设N（m，n），则M（m+2，n-1），
代入抛物线解析式y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2=n}\\{-\frac{1}{2}（m+2）^{2}+\frac{3}{2}（m+2）+2=n-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴M（3，2），N（1，3）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、旋转的性质及方程思想等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点坐标是解题的关键，在（3）中求得MQ和NQ的长是解题的关键，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．