Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且

BC

=

CE

．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠CAB=

3

4

，BC=3，求DE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：几何综合题

分析：（1）连接OC，由

BC

=

CE

，根据圆周角定理得∠1=∠2，而∠1=∠OCA，则∠2=∠OCA，则可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连接BE交OC于F，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，在Rt△ACB中，根据正切的定义得AC=4，再利用勾股定理计算出AB=5，然后证明Rt△ABC∽Rt△ACD，利用相似比先计算出AD=

16

5

，再计算出CD=

12

5

；根据垂径定理的推论由

BC

=

CE

得OC⊥BE，BF=EF，于是可判断四边形DEFC为矩形，所以EF=CD=

12

5

，则BE=2EF=

24

5

，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理计算出AE=

7

5

，再利用DE=AD-AE求解．

解答：（1）证明：连接OC，如图，
∵

BC

=

CE

，
∴∠1=∠2，
∵OC=OA，
∴∠1=∠OCA，
∴∠2=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连接BE交OC于F，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，tan∠CAB=

BC

AC

=

3

4

，
而BC=3，
∴AC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∵∠1=∠2，
∴Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴

AC

AD

=

AB

AC

，即

4

AD

=

5

4

，解得AD=

16

5

，
∵

BC

CD

=

AB

AC

，即

3

CD

=

5

4

，解得CD=

12

5

，
∵

BC

=

CE

，
∴OC⊥BE，BF=EF，
∴四边形DEFC为矩形，
∴EF=CD=

12

5

，
∴BE=2EF=

24

5

，
∵AB为直径，
∴∠BEA=90°，
在Rt△ABE中，
AE=

AB2-BE2

=

52-( 24 5 )2

=

7

5

，
∴DE=AD-AE=

16

5

-

7

5

=

9

5

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．