Question

4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2$\sqrt{3}$，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；
（2）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积．

解答 解：（1）BC与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．

（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，
根据勾股定理得：OB²=OD²+BD²，即（x+2）²=x²+12，
解得：x=2，即OD=OF=2，
∴OB=2+2=4，
∵Rt△ODB中，OD=$\frac{1}{2}$OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S_扇形AOB=$\frac{60π×4}{360}$=$\frac{2π}{3}$，
则阴影部分的面积为S_△ODB-S_扇形DOF=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$．
故阴影部分的面积为2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，扇形面积，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．