分析 （1）先求出点E的横坐标，利用直线DE的解析式求点E的纵坐标，则C（0，4），P的横坐标为2，根据顶点坐标公式求出b的值，把点C的坐标代入抛物线的解析式中可求出c的值，写出抛物线的解析式；
（2）将二次函数的解析式配方得顶点P的坐标为（2，$\frac{16}{3}$），再求直线PC的解析式，利用PC⊥QO，得到直线OQ的解析式为：y=-$\frac{3}{2}$x，又因为Q在PH上，则Q的横坐标为2，从而可以求Q的纵坐标；
（3）作辅助线，构建直角三角形和全等三角形，先利用方程求出点B的坐标，则OB=6，证明△ECD≌△EMB，得△DEB是等腰直角三角形；再证△DNG∽△BOD，得$\frac{DN}{BO}=\frac{NG}{OD}$，列方程求出a的值，写出点G的坐标为（1，5），根据解析式列方程组求出点F的坐标，利用两点间距离公式求FG的长，得到QR的长，利用勾股定理求RS的长，分两种情况求OR的长．
解答 
解：（1）如图1，∵点E、C关于直线PH对称，
∴CE⊥PH，
∵PH是抛物线的对称轴，且CE=4，
∴点E的横坐标为4，
当x=4时，y=$\frac{1}{2}$×4+2=4，
当x=0时，y=2，
∴E（4，4），D（0，2），C（0，4），
把C（0，4）代入y=-$\frac{1}{3}$x2+bx+c得：c=4，
∴点P的横坐标为2，
则-$\frac{b}{2×（-\frac{1}{3}）}$=2，
b=$\frac{4}{3}$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x+4；
（2）如图2，y=-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x+4=-$\frac{1}{3}$（x-2）2+$\frac{16}{3}$，
∴P（2，$\frac{16}{3}$），
设直线PC的解析式为：y=kx+b，
把P（2，$\frac{16}{3}$）和C（0，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=\frac{16}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线PC的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x+4，
∵PC⊥QO，
∴直线OQ的解析式为：y=-$\frac{3}{2}$x，
∵Q在PH上，
∴Q的横坐标为2，
当x=2时，y=-$\frac{3}{2}$×2=-3，
∴Q（2，-3），
即Q的纵坐标为-3；
（3）如图3，过G作GN⊥y轴于N，过E作EM⊥x轴于M，过Q作QS⊥y轴于S，连接EB、GD，
设G（a，-$\frac{1}{3}{a}^{2}$+$\frac{4}{3}$a+4），
当y=0时，-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{4}{3}$x+4=0，
解得：x1=-2，x2=6，
∴OB=6，
∵E（4，4），
∴EC=EM=4，
∴BM=6-4=2，
∴CD=OC-OD=4-2=2，
∴BM=CD，
∵∠ECD=∠EMB=90°，
∴△ECD≌△EMB，
∴∠DEC=∠BEM，DE=BE，
∵∠ECO=∠COB=∠EMO=90°，
∴四边形COME是矩形，
∴∠CEM=90°，
∴∠CED+∠DEM=90°，
∴∠DEM+∠BEM=90°，
∴∠DEB=90°，
∴△DEB是等腰直角三角形，
∴∠EDB=45°，
∵GF⊥DF，GE=FE，
∴GK=KF，
在Rt△DKF中，∠EDF=45°，
∴△DKF也是等腰直角三角形，
∴DK=KF，
∴DK=GK，
∴△DKG是等腰直角三角形，
∴∠GDE=45°，
∴∠GDF=90°，
∴∠NDG+∠ODB=90°，
∵∠ODB+∠DBO=90°，
∴∠NDG=∠DBO，
∵∠DNG=∠DOB=90°，
∴△DNG∽△BOD，
∴$\frac{DN}{BO}=\frac{NG}{OD}$，
∴DN•OD=BO•NG，
∴2（-$\frac{1}{3}{a}^{2}$+$\frac{4}{3}$a+4-2）=6a，
解得：a1=-6（舍），a2=1，
当a=1时，y=-$\frac{1}{3}{a}^{2}$+$\frac{4}{3}$a+4=-$\frac{1}{3}$+$\frac{4}{3}$+4=5，
∴G（1，5），
∵直线ED的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+2，且ED⊥FG，
∴设FG的解析式为：y=-2x+b，
把G（1，5）代入得：-2+b=5，
b=7，
∴FG的解析式为：y=-2x+7，
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
把B（6，0）和D（0，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+2，
则有$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+2}\\{y=-2x+7}\end{array}\right.$ 解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴F（3，1），
∴FG=$\sqrt{（3-1）^{2}+（1-5）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵FG=2QR，
∴QR=$\sqrt{5}$，
∵Q（2，-3），
∴QS=2，OS=3，
由勾股定理得：RS=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=1，
有两种情况：①当R在S的上方时，OR=OS-RS=3-1=2，
②当R在S的下方时，OR=OS+RS=3+1=4，
∴线段OR的长为2或4．
点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，并利用解析式表示点的坐标，根据等量关系式列一元二次方程求出字母的值，写出点的坐标；将函数、方程、图形有机地结合，比较复杂，在计算过程中，利用了两直线互相垂直，则一次项系数k为负倒数；还有两点间距离公式和勾股定理求线段的长；两直线的解析式列方程组求其交点坐标；根据全等和相似的性质得到边的关系，从而得出结论．
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如图，在平面直角坐标系中，点P为（-2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）| A． | -2.5和-3之间 | B． | -3和-3.5之间 | C． | -3.5和-4之间 | D． | -4和-4.5 之间 |
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| A． | m3•m2=m6 | B． | （xy）8÷（xy）4=（xy）2 | ||
| C． | a10÷（a7÷a2）=a5 | D． | x4m+x2n•x2n=1（n为正整数） |
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如图，AB是⊙O的直径且AB=4$\sqrt{3}$，点C是OA的中点，过点C作CD⊥AB交⊙O于D点，点E是⊙O上一点，连接DE，AE交DC的延长线于点F，则AE•AF的值为12．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：填空题
如图，线段AB的长为5，C为线段AB上一动点（与点A、B不重合），分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和BCE，若AD=x，BE=y，那么x2+y2最小值是$\frac{25}{4}$．查看答案和解析>>
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如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1=∠2，∠3=110°，则∠4的度数为110°．