Question

学习三角形后，九（6）班的王老师给了这样一个题让同学们讨论：“已知一个三角形的两边长分别是6cm和5cm，其中一个内角是30°，求这个三角形的面积是多少？”于是得到很多结果：甲同学认为面积应该是

15

2

cm²，乙同学认为面积应该是

3(3 3 -4)

2

cm²而丙同学认为面积是

3(3 3 +4)

2

cm²等，你认为他们的说法全面吗？若你有不同结论，请你用你所学的数学知识求出其面积．

Answer 1

分析：分类讨论：①30°角的两邻边是6cm和5cm；②30°角的对边和邻边分别是6cm和5cm；③30°角的对边和邻边分别是5cm和6cm；④30°角的两邻边是5cm和6cm．

解答：解：不全面，应该有四种情况．
①如图①所示，
过C作CD⊥BC于D，
在Rt△ACD中，CD=

1

2

AC=

5

2

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

×6cm×

5

2

cm=

15

2

cm²；

②如图②所示：过点B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，BD=

1

2

AB=

5

2

cm，AD=

5

2

3

cm；
在Rt△BDC中，CD=

119

2

cm（勾股定理），
∴S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

×（

5

2

3

+

119

2

）×

5

2

cm=

5(5 3 + 119 )

8

cm²；

③如图③所示，过点B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，BD=

1

2

AB=3cm，AD=3

3

cm；
在Rt△BDC中，CD=4cm（勾股定理），
∴S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

×（3

3

+4）×3cm=

3(3 3 +4)

2

cm²；

④如图④所示：设CD=xcm，则
在Rt△ACD中，AD=

3

xcm；
在Rt△BCD中，BD=

25-x2

cm，
∴AD+BD=

3

x+

25-x2

=6，
解得，x=

3 3 +4

2

，或x=

3 3 -4

2

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

×（

3 3 +4

2

）×6cm=

3(3 3 +4)

2

cm²；
或S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

×（

3 3 -4

2

）×6cm=

3(3 3 -4)

2

cm²；
综上所述，该三角形的面积是：

15

2

cm²；

5(5 3 + 119 )

8

cm²；

3(3 3 +4)

2

cm²；

3(3 3 -4)

2

cm²．

点评：本题考查了三角形的面积，三角形中的勾股定理的运用以及含30度角的直角三角形．解答该题需要分类讨论．