Question

如图所示，已知二次函数与坐标轴分别交于A、D、B三点，顶点为C。

（1）求tan∠BAC

（2）在y轴上是否存在一点P，使得△DOP与△ABC相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，说明理由。

 （3）Q是抛物线上一动点，使得以A、B、C、Q为端点的四边形是一个梯形，请直接写出满足条件的Q点的坐标。（不要求写出解题过程）

Answer 1

解：（1）把y=0代入，得。

解得

即A（3，0），D（-1，0）

把x=0代入，得y=3

∴B（0，3）

把x=1代入

y=4，即C（1，4）。

过点C作CE⊥y轴，垂足为E。

∵△AOB和△BCE都是等腰直角三角形

∴∠ABC=90°且BC=，AB=。

∴tan∠BAC=。。。。。4分

（2）①P在原点时，

∵PD=1，BP=3，∠BPD=∠ABC，且

即△DOP∽△ABC。。。。。。。。。。。。。。。。2分

②当P在y轴负半轴时，设P（0，a）

由①知∠DBP=∠BAC。

∴只需∠BDP=Rt∠即可。

此时，易证△BDO∽△DOP

∴

∴OP=

∴P（0，）。。。。。。。。。。。。。。。。2分

②当P在y轴正半轴时，显然△BDP不可能为Rt△。

∴所以满足题意的P点为（0，0）或（0，）。

（3）（－2，－5），（4，－5），（2，3）