Question

13．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
（2）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把C（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$求出k=4，把（4，m）代入y=$\frac{4}{x}$求出m即可，把C（1，4），D（4，1）代入y=ax+b得出解析式，求得出一次函数的解析式；
（2）双曲线上存在点P，使得S_△POC=S_△POD，这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y=$\frac{4}{x}$交点，易证△POC≌△POD，则S_△POC=S_△POD．

解答 解：（1）把C（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$，
得k=4，
把（4，m）代入y=$\frac{4}{x}$，得m=1；
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$，m=1；
把C（1，4），D（4，1）代入y=ax+b得出$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{1=4k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-x+5；
（2）双曲线上存在点P（2，2），使得S_△POC=S_△POD，理由如下：
∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），
∴OD=OC=$\sqrt{17}$，
∴当点P在∠COD的平分线上时，∠COP=∠POD，又OP=OP，
∴△POC≌△POD，
∴S_△POC=S_△POD．
∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），
可得∠COB=∠DOA，
又∵这个点是∠COD的平分线与双曲线的y=$\frac{4}{x}$交点，
∴∠BOP=∠POA，
∴P点横纵坐标坐标相等，
即xy=4，x²=4，
∴x=±2，
∵x＞0，
∴x=2，y=2，
故P点坐标为（2，2），使得△POC和△POD的面积相等．
利用点CD关于直线y=x对称，P（2，2）或P（-2，-2）．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的应用，用了数形结合思想．