Question

18．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是对角线AC上一点，∠DEC=∠ABC，且CD²=CE•CA．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点F，联结CF，若∠FCE=∠DCE，求证：四边形EFCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）将乘积式整理成$\frac{CE}{CD}$=$\frac{CD}{CA}$，根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似求出△ECD和△DCA相似，再根据相似三角形对应角相等求出∠ADC=∠DEC，从而得到∠ABC=∠ADC，再利用等角的补角相等求出∠BAD=∠BCD，然后根据两组对角相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据平行四边形的定义求出四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等可得AB∥EF，AB=EF，再求出CD∥EF，CD=EF，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形EFCD是平行四边形，根据两直线平行，内错角相等可得∠FEC=∠ECD，从而求出∠FEC=∠FCE，根据等边对等角可得EF=FC，再根据邻边相等的平行四边形是菱形求出平行四边形EFCD是菱形．

解答 （1）证明：∵CD²=CE•CA，
∴$\frac{CE}{CD}$=$\frac{CD}{CA}$，
∵∠ECD=∠DCA，
∴△ECD∽△DCA，
∴∠ADC=∠DEC，
∵∠DEC=∠ABC，
∴∠ABC=∠ADC，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠BAD=∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）证明：∵EF∥AB，BF∥AE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF，AB=EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴CD∥EF，CD=EF，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∵CD∥EF，
∴∠FEC=∠ECD，
又∵∠DCE=∠FCE，
∴∠FEC=∠FCE，
∴EF=FC，
∴平行四边形EFCD是菱形．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，等边对等角的性质，（1）难点在于把乘积式转化为比例式并确定出相似三角形，（2）关键在于求出平行四边形．