Question

如图，内接于半圆，为直径，过点作直线，若＝。

（1）    求证：是半圆的切线。

（2）    设是弧的中点，连结交于，过作于，交于，求证：。

（3）    若的面积为4.5,且＝3,＝4,试求的面积。

Answer 1

证明（1）：∵AB是直径

 ∴∠ACB=90º ，∴∠CAB+∠ABC=90º

             ∵∠MAC=∠ABC

             ∴∠MAC+∠CAB=90º，即MA⊥AB

∴MN是半圆的切线．

        （2）证法1：

∵D是弧AC的中点， ∴∠DBC=∠2

∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB=90º

∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠2=90º

∵∠DBC=∠2，∴∠FDG=∠CGB=∠FGD

∴FD=FG

证法2：连结AD，则∠1=∠2

∵AB是直径，∴∠ADB=90º

∴∠1+∠DGF=90º

又∵DE⊥AB  ∴∠2+∠FDG=90º

∴∠FDG=∠FGD， ∴FD=FG

（3）解法1：过点F作FH⊥DG于H，

又∵DF=FG  ∴S_△FGH=S_△DFG=×4.5=

∵AB是直径，FH⊥DG ∴∠C=∠FHG=90º

∵∠HGF=∠CGB，∴△FGH∽△BGC

∴

∴S_△BCG=

解法2：∵∠ADB=90º，DE⊥AB，∴∠3=∠2

∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3

∴AF=DF=FG

∴S_△ADG=2S_△DFG=9

∵∠ADG=∠BCG，∠DGA=∠CGB

∴△ADG∽△BCG

∴

∴S_△BCG=

解法3：连结AD，过点F作FH⊥DG于H，

∵S_△FDG=DG×FH=×3FH=4．5

∴FH=3

∵H是DG的中点，FH∥AD

∴AD=2FH=6∴S_△ADG=

（以下与解法2同）