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    11．（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD•BC=AP•BP．
    （2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
    （3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
    如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．

    分析 （1）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
    （2）由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
    （3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=6，根据勾股定理可得DE=8，由题可得DC=DE=8，则有BC=10-8=2．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD•BC=AP•BP，就可求出t的值．

    解答 （1）证明：如图1，
    ∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
    ∴∠ADP+∠APD=90°，
    ∠BPC+∠APD=90°，
    ∴∠APD=∠BPC，
    ∴△ADP∽△BPC，
    ∴$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$，
    ∴AD•BC=AP•BP；

    （2）结论AD•BC=AP•BP仍成立；
    理由：证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，
    又∵∠BPD=∠A+∠APD，
    ∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，
    ∵∠DPC=∠A=θ，
    ∴∠BPC=∠APD，
    又∵∠A=∠B=θ，
    ∴△ADP∽△BPC，
    ∴$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$，
    ∴AD•BC=AP•BP；

    （3）解：如下图，过点D作DE⊥AB于点E，

    ∵AD=BD=10，AB=12，
    ∴AE=BE=6
    ∴DE=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
    ∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，
    ∴DC=DE=8，
    ∴BC=10-8=2，
    ∵AD=BD，
    ∴∠A=∠B，
    又∵∠DPC=∠A，
    ∴∠DPC=∠A=∠B，
    由（1）（2）的经验得AD•BC=AP•BP，
    又∵AP=t，BP=12-t，
    ∴t（12-t）=10×2，
    ∴t=2或t=10，
    ∴t的值为2秒或10秒．

    点评 本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．

    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    1．如图1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm．在Rt△DEF中，∠DFE=90°，EF=6cm，DF=8cm．点C、B、E、F在同一直线上，且B、F两点重合．现固定△ABC不动，将△DEF沿直线BC以1cm/s的速庋向点C运动．当点F到达点C时，△DEF停止运动．设运动的时间是t（s）．其中t＞0．

    （l）当t=$\frac{32}{3}$秒时，点D落在线段AB上；
    （2）设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S．请直接写出S与t的函数关系式及t的取值范围；
    （3）如图2，当点F开始运动时，点P同时从点F出发，在折线FD-DE上以2cm/s的速度向点E运动，设DE、DF两边分别与AB边交于M、N两点．
    ①求t为何值时，△PMN为等腰三角形？
    ②如图3，当点P在边DF上运动时，求线段CP的中点Q所经过的路径长度．

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    2．如图，已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，D是边AC上一点（D与A，C不重合），过点A作AE垂直AC，且满足AE=CD．交边AB于点F．
    （1）试判断△DBE的形状，并证明你的结论；
    （2）当点D在边AC上运动时，四边形ADBE的面积是否发生变化？若不变，求出四边形ADBE的面积；若改变，请说明理由；
    （3）当△BDF是等腰三角形时，请直接写出AD的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    19．如图所示，D是△ABC的边BC上的一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，则∠DAC=24°．

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    6．（1）先化简再求值3x2-|5x-（x-3）+3x2|，其中x=2．
    （2）已知：（a-2）x2+（b+1）xy-x+y-7是关于x，y的多项式，如果该多项式不含二次项，试求3a+8b的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    16．（1）等腰三角形的周长为18，其中一边为5，则另两边的长分别为5cm、8cm或6.5cm、6.5cm．
    （2）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是28°，则顶角是62°或118°．
    （3）在等腰Rt△ABC中，斜边上中线为5，则斜边长为10，面积是25．

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    3．已知关于x的一元二次方程mx2+x+1=0．
    （1）当该方程有一个根为1时，确定m的值；
    （2）当该方程有两个不相等的实数根时，确定m的取值范围．

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    20．【问题情境】
    如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B
    小明认为线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在⊙O上任意取一个不同于点A的点C，连接OC、CP，则有OP＜OC+PC，即OP-OC＜PC，由OA=OC得OP-OA＜PC，即PA＜PC，从而得出线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段
    小红认为在图1中，线段PB是点P到⊙O上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由

    【直接运用】
    如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是$\widehat{CD}$上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是$\sqrt{5}$-1
    【构造运用】
    如图4，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值
    解：由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA′=MD，做点A′在以AD为直径的圆上，如图5，以点M为圆心，MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H（请继续完成本题的后续解题过程）

    【深度运用】
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    1．计算
    （1）-5-9+3；
    （2）（-2）×（-7）×（+5）×（-3）
    （3）（-12）÷（-$\frac{2}{3}$）×（-6）
    （4）-23+（-3）2
    （5）10+（-2）×（-5）
    （6）$-{1^4}-\frac{1}{6}×[{3-{{（-3）}^2}}]$．

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