Question

15．如图，在梯形ABCD中，∠D=90°，BC∥AD．BC=20，DC=16，AD=30，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，运动时间为t（秒）
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t；
（3）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）首先根据CQ=t，PD=2t，可得BQ=20-t；然后根据三角形的面积的求法，求出S与t之间的函数关系式即可．
（2）分两种情形讨论：①当P在线段AD上时，AP=BQ时，四边形ABQP为平行四边形，即30-2t=20-t时，四边形ABQP为平行四边形，解得t=10，
②当15＜t≤20时，P在DA的延长线上，同法列出方程即可解决问题．
（3）根据题意，分三种情况：①当PB=PQ时；②当PQ=BQ时；③当BQ=PB时；然后根据等腰三角形的性质，分类讨论，求出当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形即可．

解答 解：（1）如图1，
，
∵BC=20，动点Q的速度是每秒1个单位长，
∴0≤t≤20，
∵CQ=t，PD=2t，
∴BQ=20-t，
∴s=$\frac{1}{2}$（20-t）×16=160-8t（0≤t≤20）．

（2）如图2，
，
①当P在线段AD上时，AP=BQ时，四边形ABQP为平行四边形，
即30-2t=20-t时，四边形ABQP为平行四边形，
解得t=10，
②当15＜t≤20时，P在DA的延长线上，这时AP=2t-30，即2t-30=20-t，t=$\frac{50}{3}$
∴四边形ABQP为平行四边形，运动时间t为10秒或$\frac{50}{3}$秒．

（3）①如图3，
，
当PB=PQ时，NQ=BN，
∵NQ=PD-CQ=2t-t=t，
∴BN=t，BQ=2t，
∴20-2t=t，
解得t=$\frac{20}{3}$．

②如图4，
，
当PQ=BQ时，
NQ=PD-CQ=2t-t=t，
PQ=BQ=20-t，
在Rt△NPQ中，
∵NQ²+NP²=PQ²，
∴t²+16²=（20-t）²，
解得t=3.6．

③如图5，
，
当BQ=PB时，
BN=20-2t，
PB=BQ=20-t，
在Rt△BNP中，
∵BN²+NP²=BP²，
∴（20-2t）²+16²=（20-t）²，
整理，可得
3t²-40t+256=0，
∵△=40²-4×3×256=-1472＜0，
∴方程无解．
综上，可得当t=$\frac{20}{3}$或3.6时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．

点评 （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用．
（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．