Question

如图梯形ABCD的面积为12，E、F、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，则以此梯形四边的中点为顶点的四边形EFMN的面积是

 

．

Answer 1

考点：梯形,三角形中位线定理

专题：

分析：首先连接AC与BD，由E、F、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形中位线的性质，可得EN∥BD，EN=

1

2

BD，即可判定△AEN∽△ABD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得S_△AEN=

1

4

S_△ABD，同理可得S_△DMN=

1

4

S_△DAC，S_△CMF=

1

4

S_△CBD，S_△BEF=

1

4

S_△BAC，然后由S_{四边形EFMN}=S_{四边形ABCD}-S_△AEN-S_△DMN-S_△CMF-S_△BEF，即可求得答案．

解答：解：连接AC与BD，
∵E、F、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EN是△ABD的中位线，MN是△DAC的中位线，MF是△CBD的中位线，EF是△BAC的中位线，
∴EN∥BD，EN=

1

2

BD，
∴△AEN∽△ABD，
∴

S△AEN

S△ABD

=(

EN

BD

)2=

1

4

，
即S_△AEN=

1

4

S_△ABD，
同理可得：S_△DMN=

1

4

S_△DAC，S_△CMF=

1

4

S_△CBD，S_△BEF=

1

4

S_△BAC，
∴S_{四边形EFMN}=S_{四边形ABCD}-S_△AEN-S_△DMN-S_△CMF-S_△BEF=S_{四边形ABCD}-

1

4

S_△ABD-

1

4

S_△DAC-

1

4

S_△CBD-

1

4

S_△BAC=

1

2

S_{四边形ABCD}=

1

2

×12=6．
故答案为：6．

点评：此题考查了三角形中位线的性质与相似三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用．