Question

如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M． 探究：线段MD、MF的关系，并加以证明． 说明：
（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明
①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；
②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；
③在②的条件下，且CF=2AD．
附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．

Answer 1

解：（1）证明：关系是：MD=MF，MD∥MF
如图，延长DM交CE于点N，连接FD、FN

∵正方形ABCD，
∴AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2
又∵AM=EM，∠3=∠4
∴△ADM≌△ENM
∴AD=EN，MD=MN
又∵AD=DC，∴DC=NE
又∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°
又∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°．∴∠DCF=∠NEF=45°
∴△FDC≌△FNE∴FD=FN，∠5=∠6
又∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°
又∵DM=MN=DN，∴M为DN的中点，
∴FM=DN，∴MD=MF，DM⊥MF
思路一：∵四边形ABCD、CGEF是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°
CF=EF=EG=CG，∠G=∠GEF=∠EFC=∠FCG=90°，∠FCE=∠FEC=45°
∴∠DCF=∠FEC
思路二： 延长DM交CE于N，
∵四边形ABCD、CGEF是正方形∴AD∥CE，∴∠DAM=∠NEM
又∵∠DMA=∠NME，AM=EM，∴△ADM≌△ENM
思路三：∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠FEC=45°
又∵正方形ABCD，
∴∠DCB=90°．∴∠DCF=180°﹣∠DCB﹣∠FCE=45°，∠DCF=∠FEC=45°
（2）选取条件① 证明：如图
∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2
又∵AD=NE，∠3=∠4， ∴△ADM≌△ENM   ∴MD=MN
又∵AD=DC，∴DC=NE
又∵正方形CGEF，∴FC=FE，∠FCE=∠FEN=45°．
∴∠FCD=∠FEN=45°
∴△FDC≌△FNE
∴FD=FN，∠5=∠6，∴∠DFN=∠CFE=90°
∴MD=MF，MD⊥MF
选取条件② 证明：如图， 延长DM交FE于N

∵正方形ABCD、CGEF
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE．
∴∠1=∠2
又∵MA=ME，∠3=∠4，
∴△AMD≌△EMN
∴MD=MN，AD=EN．∴AD=DC，∴DC=NE
又∵FC=FE，∴FD=FN
又∵∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD．
选取条件③ 证明：如图， 延长DM交FE于N．
∵正方形ABCD、CGEF
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE   ∴∠1=∠2
又∵MA=ME，∠3=∠4，
∴△AMD≌△EMN
∴AD=EN，MD=MN．∴CF=2AD，EF=2EN   ∴FD=FN．
又∵∠DFN=90°，
∴MD=MF，MD⊥MF
附加题： 证明：如图
过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN
∴∠ADC=∠H，∠3=∠4．
∵AM=ME，∠1=∠2，
∴△ADM≌△ENM
∴DM=NM，AD=EN．
∵正方形ABCD、CGEF
∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，CG∥FE
∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°
∴∠DCF=∠5=∠NEF
∵FC=FE，
∴△DCF≌△NEF
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°
∴∠DFN=90°．
∴DM=FM，DM⊥FM．