Question

8．如图，在平面直角坐标系内，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为x轴负半轴上的一点，过点C作CD⊥AB，垂足为D．
（1）求证：△BOD∽△BAC；
（2）若直线AB的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+m，OD=2，求AC的长度．

Answer 1

分析 （1）先证明∠ECO=∠OAD，从而得到点A、C、O、D共圆，由圆周角定理可知∠ACB=∠ODB，根据∠DBO=CBA，∠ACB=∠ODB可证明△BOD∽△BAC；（2）由直线AB的解析式得到∠ABO=60°，从而得到$\frac{OB}{AB}$=$\frac{1}{2}$，然后利用相似三角形的性质可求得AC的长．

解答 解：（1）如图所示：

∵CD⊥AB，
∴∠ADE=90°．
∴∠EOC=∠ADE=90°．
∵∠AED+∠EAD=90°，∠CEO+∠ECO=90°，∠AED=∠CEO，
∴∠ECO=∠OAD．
∵△COD和△AOD在OD的同侧，且∠ECO=∠OAD，
∴点A、C、O、D共圆．
∴∠ACB=∠ODB．
又∵∠∠DBO=CBA，
∴△BOD∽△BAC．
（2）∵直线AB的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+m，
∴tan∠ABO=$\sqrt{3}$．
∴∠ABO=60°．
∴cos∠AOB=$\frac{OB}{AB}=\frac{1}{2}$．
∵△BOD∽△BAC，
∴$\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{AB}=\frac{1}{2}$，即$\frac{2}{AC}=\frac{1}{2}$．
解得：AC=4．

点评 本题主要考查的是一次函数的应用、四点共圆、相似三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数值、圆周角定理的应用，证得点A、C、O、D共圆是解题的关键．