Question

17．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标的值与横坐标的值的平方相等的点称为“好点”，例如点（-1，1），（0，0），（$\sqrt{2}$，2），…都是“好点”，显然，这样的“好点”有无数个．
（1）求一次函数y=x+1上的所有“好点”的坐标；
（2）若过点（1，-1）的直线上恰好有一个“好点”，请求出符合要求的直线解析式；
（3）若二次函数y=ax²-6ax+9a-1（a是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“好点”且至少有一个“好点”的横坐标的值大于2，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）一次函数y=x+1上“好点”的坐标为（a，a²），代入解析式列方程即可．
（2）设过点（1，-1）的直线解析式为y=kx+b，则-1=k+b，所以b=-k-1，所以直线解析式为y=kx-k-1，设“好点”的坐标为（a，a²），则有a²=ka-k-1，根据△=0，列方程即可．
（3）设二次函数y=ax²-6ax+9a-1（a是常数，a＞0）的“好点”坐标为（m，m²），则有m²=am²-6am+9a-1，所以（a-1）m²-6am+9a-1=0，列出不等式组即可解决问题．

解答 解：（1）一次函数y=x+1上“好点”的坐标为（a，a²），
则a²=a+1，
∴a²-a-1=0，
∴a=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∴“好点”的坐标为（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）．

（2）设过点（1，-1）的直线解析式为y=kx+b，
∴-1=k+b，
∴b=-k-1，
∴直线解析式为y=kx-k-1，
设“好点”的坐标为（a，a²）
则有a²=ka-k-1，
∴a²-ka+k+1=0，
由题意△=0，
∴k²-4k-4=0，
∴k=$\frac{4±4\sqrt{2}}{2}$=2$±2\sqrt{2}$，
∴符合要求的直线解析式y=（2+2$\sqrt{2}$）x-3-2$\sqrt{2}$=0或y=（2-2$\sqrt{2}$）x-3+2$\sqrt{2}$．

（3）设二次函数y=ax²-6ax+9a-1（a是常数，a＞0）的“好点”坐标为（m，m²），
则有m²=am²-6am+9a-1，
∴（a-1）m²-6am+9a-1=0，
由题意$\left\{\begin{array}{l}{（-6a）^{2}-4（a-1）（9a-1）＞0}\\{a-1＞0}\\{4（a-1）-12a+9a-1＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{（6a）^{2}-4（a-1）（9a-1）＞0}\\{a-1＜0}\\{4（a-1）-12a+9a-1＞0}\end{array}\right.$
解得1＜a＜5．

点评 本题是二次函数综合题，主要考查了不等式组等知识，解题的关键是理解题意，学会利用方程的思想思考问题，学会利用不等式组解决问题，属于中考压轴题．