Question

（2013•怀化）已知函数y=kx²-2x+

3

2

（k是常数）
（1）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求k的值；
（2）若点M（1，k）在某反比例函数的图象上，要使该反比例函数和二次函数y=kx²-2x+

3

2

都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设抛物线y=kx²-2x+

3

2

与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＜x₂，x₁²+x₂²=1．在y轴上，是否存在点P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出点P及△ABP的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本问注意分类讨论：若k=0，函数为一次函数；若k≠0，函数为二次函数，根据其△=0求解即可；
（2）根据反比例函数和二次函数的增减性，综合确定k应满足的条件和x的取值范围；
（3）由题意，首先根据一元二次方程根与系数关系，求出k的值；从而得到抛物线的解析式，画出抛物线的大致图象，以AB为直径作圆，圆与y轴的两个交点即为所求之点P；最后利用相似三角形求出点P的坐标和△ABP的面积．

解答：解：（1）若k=0，则y=-2x+

3

2

是一次函数，与x轴只有一个交点，满足条件；
若k≠0，则y=kx²-2x+

3

2

（k≠0）是二次函数，
由△=b²-4ac=4-6k=0，得k=

2

3

．
∴k=0或

2

3

．


（2）设反比例函数解析式为：y=

m

x

，
∵点M（1，k）在反比例函数图象上，
∴m=k．
∴y=

k

x

．
由反比例函数的性质可知，当y随x的增大而增大时，须满足条件：k＜0，x≠0．
二次函数y=kx²-2x+

3

2

，抛物线开口向下，其对称轴为直线x=

1

k

，
当y随x的增大而增大时，须满足条件：k＜0，x＜

1

k

．
综上所述，要使该反比例函数和二次函数都是y随x的增大而增大，须满足条件：k＜0，x＜

1

k

．


（3）存在．
抛物线解析式为：y=kx²-2x+

3

2

，
令y=0，即kx²-2x+

3

2

=0，
∴x1+x2=

2

k

，x1x2=

3

2k

．
∵x₁²+x₂²=1，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1，即：（

2

k

）²-2•

3

2k

=1
整理得：k²+3k-4=0，
解得：k=-4或k=1．
又∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=4-6k＞0，解得k＜

2

3

，
∴k=1不符合题意，舍去，∴k=-4．
∴抛物线的解析式为：y=-4x²-2x+

3

2

=-4（x+

1

4

）²+

7

4

．
令y=0，解得x=

-1± 7

4

，
∴A（

-1- 7

4

，0），B（

-1+ 7

4

，0）．
画出函数大致图象如下，则OA=

1+ 7

4

，OB=

-1+ 7

4

，AB=

7

2

．

以AB为直径作圆，由图象可见，圆与y轴的交点有2个，因此所求的点P有两个．
连接PA、PB，易证△PAO∽△BPO，
∴

OP

OB

=

OA

OP

，
∴OP²=OA•OB=

1+ 7

4

×

-1+ 7

4

=

3

8

，∴OP=

6

4

．
S_△ABP=

1

2

AB•OP=

1

2

×

7

2

×

6

4

=

42

16

．
综上所述，存在两个满足条件的点P．点P的坐标为（0，

6

4

）或（0，-

6

4

），△ABP的面积为

42

16

．

点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、反比例函数、一元二次方程、根与系数关系、根的判别式、相似三角形等知识点，有一定的难度．第（1）问中，须分一次函数、二次函数进行讨论；第（3）问中，满足条件的点P有两个，容易漏解．可见分类讨论思想是本题考查重点，也是易失分点．