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    请阅读下面材料：
    若A（x1，y），B（x2，y） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线为此抛物线的对称轴．
    有一种方法证明如下：
    ①②
    证明：∵A（x1，y），B（x2，y） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点
    ∴且 x1≠x2．
    ①-②得 a（x12-x22）+b（x1-x2）=0．
    ∴（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0．
    ∴
    又∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为，
    ∴直线为此抛物线的对称轴．
    （1）反之，如果M（x1，y1），N（x2，y2） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，直线为该抛物线的对称轴，那么自变量取x1，x2时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
    （2）利用以上结论解答下面问题：
    已知二次函数y=x2+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，求x=2012时的函数值．
    【答案】分析：（1）由题意得出且x1≠x2，再由直线的对称轴得出结论：自变量取x1，x2时函数值相等．
    （2）由题意求得b，得出二次函数的解析式为y=x2-2011x-1．再由（1）得，当x=2012时的函数值为2011．
    解答：解：（1）结论：自变量取x1，x2时函数值相等．
    证明：∵M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y=ax2+bx+c上不同的两点，
    由题意得且x1≠x2
    ①-②，得y1-y2=a（x12-x22）+b（x1-x2）=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．
    ∵直线是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，
    ∴．
    ∴．
    ∴y1-y2=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0，即y1=y2；

    （2）∵二次函数y=x2+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，
    ∴由阅读材料可知二次函数y=x2+bx-1的对称轴为直线．
    ∴，b=-2011．
    ∴二次函数的解析式为y=x2-2011x-1．
    ∵，
    由（1）知，当x=2012的函数值与x=-1时的函数值相等．
    ∵当x=-1时的函数值为（-1）2-2011×（-1）-1=2011，
    ∴当x=2012时的函数值为2011．
    点评：本题是一道阅读题，考查了二次函数的性质和图象上点的特点，综合性较强，难度较大．
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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    请阅读下面材料：
    若A（x1，y0），B（x2，y0） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线x=
    x1+x2
    2
    为此抛物线的对称轴．
    有一种方法证明如下：
    ①②
    证明：∵A（x1，y0），B（x2，y0） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点
    ∴
    y0=a
    x
    2
    1
    +bx1+c①
    y0=a
    x
    2
    2
    +bx2+c②
    且 x1≠x2．
    ①-②得 a（x12-x22）+b（x1-x2）=0．
    ∴（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0．
    ∴x1+x2=-
    b
    a

    又∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-
    b
    2a
    ，
    ∴直线x=
    x1+x2
    2
    为此抛物线的对称轴．
    （1）反之，如果M（x1，y1），N（x2，y2） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，直线x=
    x1+x2
    2
    为该抛物线的对称轴，那么自变量取x1，x2时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
    （2）利用以上结论解答下面问题：
    已知二次函数y=x2+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，求x=2012时的函数值．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    请阅读下面材料：
    若A（x1，y0），B（x2，y0） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线x=
    x1+x2
    2
    为此抛物线的对称轴．
    有一种方法证明如下：
    ①②
    证明：∵A（x1，y0），B（x2，y0） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点
    ∴
    y0=a
    x21
    +bx1+c①
    y0=a
    x22
    +bx2+c②
    且 x1≠x2．
    ①-②得 a（x12-x22）+b（x1-x2）=0．
    ∴（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0．
    ∴x1+x2=-
    b
    a

    又∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-
    b
    2a
    ，
    ∴直线x=
    x1+x2
    2
    为此抛物线的对称轴．
    （1）反之，如果M（x1，y1），N（x2，y2） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，直线x=
    x1+x2
    2
    为该抛物线的对称轴，那么自变量取x1，x2时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
    （2）利用以上结论解答下面问题：
    已知二次函数y=x2+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，求x=2012时的函数值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    请阅读下面材料：
    若， 是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线为此抛物线的对称轴.
    有一种方法证明如下：

    ①
    ②

     
    证明：∵，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，       

         ∴        且 ≠. 
    ①-②得 .
    ∴.
    ∴.
    又∵ 抛物线（a ≠ 0）的对称轴为，
    ∴ 直线为此抛物线的对称轴.
    （1）反之，如果， 是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，直线为该抛物线的对称轴，那么自变量取，时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
    （2）利用以上结论解答下面问题：
    已知二次函数当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.

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    科目：初中数学 来源：2011届北京市门头沟区初三第一学期期末数学卷 题型：解答题

    请阅读下面材料：
    若， 是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线为此抛物线的对称轴.
    有一种方法证明如下：

    ①
    ②

     
    证明：∵，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，       

         ∴        且 ≠. 
    ①-②得 .
    ∴.
    ∴.
    又∵ 抛物线（a ≠ 0）的对称轴为，
    ∴ 直线为此抛物线的对称轴.
    （1）反之，如果， 是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，直线为该抛物线的对称轴，那么自变量取，时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
    （2）利用以上结论解答下面问题：
    已知二次函数当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.

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    科目：初中数学 来源：2010-2011学年江苏省南通市如东县九年级（上）期末数学试卷（解析版） 题型：解答题

    请阅读下面材料：
    若A（x1，y），B（x2，y） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线为此抛物线的对称轴．
    有一种方法证明如下：
    ①②
    证明：∵A（x1，y），B（x2，y） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点
    ∴且 x1≠x2．
    ①-②得 a（x12-x22）+b（x1-x2）=0．
    ∴（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0．
    ∴
    又∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为，
    ∴直线为此抛物线的对称轴．
    （1）反之，如果M（x1，y1），N（x2，y2） 是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，直线为该抛物线的对称轴，那么自变量取x1，x2时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
    （2）利用以上结论解答下面问题：
    已知二次函数y=x2+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，求x=2012时的函数值．

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