Question

20．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，对称轴x=-1，下列结论：①2a-b=0；②a+b+c＜0；③a-b＞am²-bm；④a-$\frac{1}{2}$b+$\frac{1}{4}$c＞0；⑤ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，且x₁≠x₂，x₁+x₂=-2．其中正确的有（　　）

• A． ①③④
• B． ①②④⑤
• C． ②③⑤
• D． ①③④⑤

Answer 1

分析 ①根据x=-$\frac{b}{2a}=-1$，可得b=2a，所以2a-b=0，据此判断即可．
②根据二次函数y=ax²+bc+c的图象的对称轴是x=-1，与x轴的一个交点A在点（-3，-1）之间，可得与x轴的另一个交点A在点（-1，1）之间，所以x=1时，y＜0，据此判断即可．
③根据x=-1时，y取到最大值，最大值是a-b+c，所以对于任意的m≠1，a-b+c＞am²-bm+c，所以当m≠1时，a-b＞am²-bm，据此判断即可．
④根据二次函数y=ax²+bc+c的图象，可得x=-2时，y＞0，所以4a-2b+c＞0，所以a-$\frac{1}{2}$b+$\frac{1}{4}$c＞0，据此判断即可．
⑤根据对称轴x=-1，可得x₁≠x₂，x₁+x₂=-2时，ax₁²+bx₁+c=ax₂²+bx₂+c，所以ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，据此判断即可．

解答 解：∵x=-$\frac{b}{2a}=-1$，
∴b=2a，
∴2a-b=0，
∴结论①正确．

∵二次函数y=ax²+bc+c的图象的对称轴是x=-1，与x轴的一个交点A在点（-3，-1）之间，
∴与x轴的另一个交点A在点（-1，1）之间，
∴x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴结论②正确．

∵x=-1时，y取到最大值，最大值是a-b+c，
∴对于任意的m≠1，a-b+c＞am²-bm+c，
∴当m≠1时，a-b＞am²-bm，
∴结论③不正确．

∵x=-2时，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，
∴a-$\frac{1}{2}$b+$\frac{1}{4}$c＞0，
∴结论④正确．

∵对称轴x=-1，
∴x₁≠x₂，x₁+x₂=-2时，有ax₁²+bx₁+c=ax₂²+bx₂+c，
∴ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，
∴结论⑤正确．
综上，可得
正确的结论有：①②④⑤．
故选：B．

点评 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．