Question

（2012•沈阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-2，0），点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段0B于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=-

2

x²+mx+n的图象经过A，C两点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）求证：∠BEF=∠AOE；
（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
（4）在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2

2

+1）倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）利用三角形外角性质，易证∠BEF=∠AOE；
（3）当△EOF为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论，注意不要漏解；
（4）本问关键是利用已知条件求得点P的纵坐标，要点是将△EPF与△EDG的面积之比转化为线段之比．如图④所示，首先证明点E为DF的中点，然后作x轴的平行线FN，则△EDG≌△EFN，从而将△EPF与△EDG的面积之比转化为PE：NE；过点P作x轴垂线，可依次求出线段PT、PM的长度，从而求得点P的纵坐标；最后解一元二次方程，确定点P的坐标．

解答：解：（1）如图①，∵A（-2，0）B（0，2）
∴OA=OB=2，
∴AB²=OA²+OB²=2²+2²=8
∴AB=2

2

，
∵OC=AB
∴OC=2

2

，即C（0，2

2

）
又∵抛物线y=-

2

x²+mx+n的图象经过A、C两点
则可得

-4 2 -2m+n=0 n=2 2

，
解得

m=- 2 n=2 2

．
∴抛物线的表达式为y=-

2

x²-

2

x+2

2

．

（2）∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BAO=∠ABO=45°
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，
∴∠BEF=∠AOE．

（3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论
①当OE=OF时，∠OFE=∠OEF=45°
在△EOF中，∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°
又∵∠AOB=90°
则此时点E与点A重合，不符合题意，此种情况不成立．
②如图2，当FE=FO时，
∠EOF=∠OEF=45°
在△EOF中，
∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°
∴EF∥AO，
∴∠BEF=∠BAO=45°
又∵由（2）可知，∠ABO=45°
∴∠BEF=∠ABO，
∴BF=EF，
EF=BF=

1

2

OB=

1

2

×2=1 
∴E（-1，1）
③如图③，当EO=EF时，过点E作EH⊥y轴于点H
在△AOE和△BEF中，
∠EAO=∠FBE，EO=EF，∠AOE=∠BEF
∴△AOE≌△BEF，
∴BE=AO=2
∵EH⊥OB，
∴∠EHB=90°，
∴∠AOB=∠EHB
∴EH∥AO，
∴∠BEH=∠BAO=45°
在Rt△BEH中，∵∠BEH=∠ABO=45°
∴EH=BH=BEcos45°=2×

2

2

=

2

∴OH=OB-BH=2-

2

∴E（-

2

，2-

2

）
综上所述，当△EOF为等腰三角形时，所求E点坐标为E（-1，1）或E（-

2

，2-

2

）．

（4）假设存在这样的点P．
当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E（-

2

，2-

2

）．
如图④所示，过点E作EH⊥y轴于点H，则OH=FH=2-

2

．
由OE=EF，易知点E为Rt△DOF斜边上的中点，即DE=EF，
过点F作FN∥x轴，交PG于点N．
易证△EDG≌△EFN，因此S_△EFN=S_△EDG，
依题意，可得
S_△EPF=（2

2

+1）S_△EDG=（2

2

+1）S_△EFN，
∴PE：NE=（2

2

+1）：1．
过点P作PM⊥x轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2-

2

．
∵FN∥EH，
∴PT：ST=PE：NE=2

2

+1，
∴PT=（2

2

+1）•ST=（2

2

+1）（2-

2

）=3

2

-2；
∴PM=PT+TM=2

2

，即点P的纵坐标为2

2

，
∴-

2

x²-

2

x+2

2

=2

2

，
解得x₁=0，x₂=-1，
∴P点坐标为（0，2

2

）或（-1，2

2

）．
综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2

2

+1）倍；
点P的坐标为（0，2

2

）或（-1，2

2

）．

点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、等腰三角形、直角三角形、全等三角形与相似三角形的性质等重要的知识点，难度较大．第（2）问注意分类讨论思想的应用，注意不要漏解；第（3）问中，将三角形面积之比转化为线段之比，这是解题的重要技巧，也是本题的难点．