Question

如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，弦AD∥OC，OC交⊙O于E．
（Ⅰ）求证：CD是⊙O的切线；
（Ⅱ）若BC=4，CE=2．求AB和AD的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接OD，根据切线的性质得到∠OBC=90°，而AD∥OC，OA=OD，得∠1=∠A，∠2=∠3，∠3=∠A，则∠1=∠2，易证△OBC≌△ODC，得到∠OBC=∠ODC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（Ⅱ）设⊙O的半径为r，在Rt△OBC中，利用勾股定理得到r²+4²=（2+r）²，解得r，即求得AB；连接BD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，易证得Rt△OBC～Rt△ADB，利用相似比即可计算出AD．

解答：（Ⅰ）证明：连接OD，如图，

∵BC为⊙O的切线，B为切点，
∴∠OBC=90°，
∵AD∥OC，
∴∠1=∠A，∠2=∠3，
又∵OA=OD，
∴∠3=∠A，
∴∠1=∠2，
在△OBC和△ODC中，

BO=DO ∠1=∠2 OC=OC

，
∴△OBC≌△ODC，
∴∠OBC=∠ODC，
∴∠ODC=90°，
∴DC为⊙O的切线；

（Ⅱ）解：设⊙O的半径为r，
在Rt△OBC中，r²+4²=（2+r）²
解得r=3，
∴AB=6，
连接BD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠OBC=90°，
又∠1=∠A，
∴△OBC∽△ADB，
∴

OB

AD

=

OC

AB

，
∴

3

AD

=

5

6

，
∴AD=3.6．

点评：本题考查了圆的切线的判定与性质定理：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理的推论以及三角形全等和相似的判定与性质．