Question

5．如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相交于点E．
（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）连结CD，求证：∠A=2∠CDE；
（3）若∠CDE=27°，OB=2，求$\widehat{BD}$的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，BD，根据圆周角定理得到∠ABO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB，∠DBO=∠BDO，根据等式的性质得到∠ADO=∠ABO=90°，根据切线的判定定理即可得到即可；
（2）由AD是半圆O的切线得到∠ODE=90°，于是得到∠ODC+∠CDE=90°，根据圆周角定理得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代换得到∠DOC=2∠BDO，∠DOC=2∠CDE即可得到结论；
（3）根据已知条件得到∠DOC=2∠CDE=54°，根据平角的定义得到∠BOD=180°-54°=126°，然后由弧长的公式即可计算出结果．

解答 （1）证明：连接OD，BD，
∵AB是以BC为直径的半圆O的切线，
∴AB⊥BC，即∠ABO=90°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO，
∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，
∴∠ADO=∠ABO=90°，
∴AD是半圆O的切线；

（2）证明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，
∴∠A=360°-∠ADO-∠ABO-∠BOD=180°-∠BOD，
∵AD是半圆O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ODC+∠CDE=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠ODC+∠BDO=90°，
∴∠BDO=∠CDE，
∵∠BDO=∠OBD，
∴∠DOC=2∠BDO，
∴∠DOC=2∠CDE，
∴∠A=2∠CDE；

（3）解：∵∠CDE=27°，
∴∠DOC=2∠CDE=54°，
∴∠BOD=180°-54°=126°，
∵OB=2，
∴$\widehat{BD}$的长=$\frac{126•π×2}{180}$=$\frac{7}{5}$π．

点评 本题考查了切线是性质，弧长的计算，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．