Question

如图，点A是函数y=的图象上的点，点B，C的坐标分别为B（-，-），C（，）．试利用性质：“函数y=的图象上任意一点A都满足|AB-AC|=2”求解下面问题：作∠BAC的内角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，已知当点A在函数y=的图象上运动时，点F总在一条曲线上运动，则这条曲线为（ ）

A．直线
B．抛物线
C．圆
D．反比例函数的曲线

Answer 1

【答案】分析：本题给出了角平分线，给出了两条线段的定值差，因此可通过构建等腰三角形作出这个等值差进行求解．
解答：解：如图：过C作CD⊥AF，垂足为M，交AB于D，
∵AF平分∠BAC，且AM是DC边上的高，
∴△DAC是等腰三角形，
∴AD=AC，
∴BD=AB-AC=2，
即BD长为定值，
过M作MN∥BD于N，
则四边形MNBD是个平行四边形，
∴MN=BD，
在△MNF中，无论F怎么变化，有两个条件不变：
①MN的长为定值，②∠MFN=90°，
因此如果作△MNF的外接圆，那么F点总在以MN为直径的圆上运动，因此F点的运动轨迹应该是个圆．
故选C．
点评：本题以反比例函数为背景，结合了等腰三角形的知识、平行四边形的知识、直角三角形的知识、三角形外接圆的知识等．综合性强．在本题中能够找出AB、AC的等值差以及让F与这个等值差相关联是解题的关键．