Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是边BC上一点，连接DE，交AC于点F，∠ADE＝30°．

（1）如图1，若AF＝2，求BC的长；

（2）如图2，过点A作AG⊥DE于点H，交BC于点G，点O是AC中点，连接GO并延长交AD于点M．求证：AG+CG＝DM．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）如图1中，作FH⊥AD于H．解直角三角形求出AH，HD即可解决问题．

（2）如图2中，在BC上取一点N，使得∠BAN＝∠CAG．利用全等三角形的性质证明DM＝BG，再证明△ANG是等边三角形即可解决问题．

（1）解：如图1中，作FH⊥AD于H．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB＝45°，

∵AF＝2，

∴AH＝HF＝

∵∠FDH＝30°，

∴DH＝FH＝，

∴BC＝AD＝

（2）证明：如图2中，在BC上取一点N，使得∠BAN＝∠CAG．

∵AM∥CG，

∴∠MAO＝∠GCO，

∵AO＝OC，∠AOM，∠COG，

∴△AOM≌△COG（ASA），

∴AM＝CG，

∵AD＝BC，

∴DM＝BG，

∵AG⊥DE，

∴∠AHD＝90°，

∵∠ADE＝30°，

∴∠DAH＝60°，

∵∠DAC＝45°，

∴∠CAG＝∠BAN＝15°，

∴∠NAG＝60°，

∵AB＝AC，∠BAN＝∠CAG，∠B＝∠ACG＝45°，

∴△ABN≌△ACG（ASA），

∴AN＝AG，CG＝BN，

∴△ANG是等边三角形，

∴AG＝GN，

∴AG+CG＝GN+BN＝BG＝DM．