Question

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数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：

作法：①在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD=OE． ②分别以D，E为圆心，以大于为半径作弧， 两弧在∠AOB内交于点C． ③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线

小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：

作法：①利用三角板上的刻度，在OA，OB上分别截取OM，ON，使OM=ON． ②分别过以M，N为OM，ON的垂线，交于点P． ③作射线OP，则OP就是∠AOB的平分 线．

小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．根据以上情境，解决下列问题：
（1）小聪的作法正确吗？请说明理由；
（2）请你帮小颖设计用刻度尺作∠AOB平分线的方法．（要求：不与小聪方法相同，请画出图形，并写出画图的方法，不必证明）．

Answer 1

解：（1）小聪的作法正确．理由如下：
∵PM⊥OM，PN⊥ON，
∴∠OMP=∠ONP=90°．
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
∵OP=OP，OM=ON，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP=∠NOP．
∴OP平分∠AOB；

（2）如图所示．


步骤：①利用刻度尺在OA、OB上分别截取OG=OH．
②连接GH，利用刻度尺作出GH的中点Q．
③作射线OQ．
则OQ为∠AOB的平分线．
分析：（1）根据HL可证Rt△OMP≌Rt△ONP，再根据全等三角形的性质即可作出判断；
（2）根据用刻度尺作角平分线的方法作出图形，写出作图步骤即可．
点评：本题考查了用刻度尺作角平分线的方法，全等三角形的判定与性质，难度不大．