Question

（2012•盐都区一模）问题提出
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N＞0，则M＞N；若M-N=0，则M=N；若M-N＜0，则M＜N．
问题解决
如图1，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．
解：由图可知：M=a²+b²，N=2ab．
∴M-N=a²+b²-2ab=（a-b）²．
∵a≠b，∴（a-b）²＞0．
∴M-N＞0．
∴M＞N．
类比应用
（1）已知：多项式M=2a²-a+1，N=a²-2a．试比较M与N的大小．
（2）已知：如图2，锐角△ABC （其中BC为a，AC为b，AB为c）三边满足a＜b＜c，现将△ABC 补成长方形，使得△ABC的两个顶
点为长方形的两个端点，第三个顶点落在长方形的这一边的对边上．
①这样的长方形可以画

3

个；
②所画的长方形中哪个周长最小？为什么？
拓展延伸
已知：如图3，锐角△ABC（其中BC为a，AC为b，AB为c）三边满足a＜b＜c，画其BC边上的内接正方形EFGH，使E、F两点在边BC上，G、H分别在边AC、AB上，同样还可画AC、AB边上的内接正方形，问哪条边上的内接正方形面积最大？为什么？

Answer 1

分析：（1）相减后画出顶点式，即可得出答案；
（2）①画出图形，即可得出答案；②以最短边a为边的长方形周长最小，设△ABC的面积为S，三个长方形的周长分别为L_a，L_b，L_c，得出三个长方形的面积相等，都是2S，求出L_a=2（

2S

a

+a），L_b=2（

2S

b

+b），Lc=2（

2S

c

+c），再相减比较即可；
拓展延伸，设a边上的内接正方形边长为x，根据△AHG∽△ABC，求出x=

aha

a+ha

，根据a+h_a最小和ah_a=2S得出x为最大．

解答：解：（1）∵M-N=（2a²-a+1）-（a²-2a）=a²+a+1=（a+

1

2

）²+

3

4

＞0，
∴M＞N；
（2）①如图所示：

符合条件的图形有3个，
故答案为：3；

②以最短边a为边的长方形周长最小，
理由是：设△ABC的面积为S，三个长方形的周长分别为L_a，L_b，L_c，
根据三角形的面积和长方形的面积可知：三个长方形的面积相等，都是2S，
L_a=2（

2S

a

+a），L_b=2（

2S

b

+b），Lc=2（

2S

c

+c），
L_a-L_b=2（a-b）（1-

2S

ab

），
∵S=

1

2

ah_a＜

1

2

ab（h_a＜b），
∴2S＜ab，
∴1-

2S

ab

＞0，
∵a＜b，
∴a-b＜0，
∴2（a-b）（1-

2S

ab

）＜0，
∴L_a＜L_b，
同理L_b＜L_c，
∴L_a＜L_b＜L_c；
拓展延伸
a边上的内接正方形面积最大，
理由是：a边上的内接正方形边长为x，

∵△AHG∽△ABC，
∴

x

a

=

ha-x

ha

，
x=

aha

a+ha

，
由上题可知，a+h_a最小，且ah_a=2S（定值），
∴x为最大，
∴a边上的内接正方形面积最大．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的计算能力和理解能力，题目比较好，但是有一定的难度．