Question

7．如图，直线y=$\frac{3}{4}$x-3与x轴、y轴交于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c经过点A，B两点，M是射线BA上一个动点，MN∥y轴交抛物线于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AN，BN，设△ABN的面积为S，点M在线段AB上运动，在点M的运动过程中，S是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由
（3）点M从点B出发，沿射线BA方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为ts，当t为何值时，MB=MN，请直接写出所有符合条件的t值．

Answer 1

分析 （1）先求出直线与坐标轴的交点A、B坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）延长NM交x轴于点C，设设点M的横坐标为m，则M（m，$\frac{3}{4}$m-3）（0≤m≤4），N（m，m²-$\frac{13}{4}$m-3），由S=S_△BMN+S_△AMN列出函数解析式，利用函数的性质求解可得；
（3）分点M点N的上方和下方两种情况，利用sin∠ABO=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{CM}{BM}$=$\frac{4}{5}$、BM=5t，从而得出M、N的横坐标均为4t，表示出其纵坐标，根据位置不同分别表示出MN，由MN=BM列方程求解可得．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{3}{4}$x-3与x轴、y轴交于点A，B，
当x=0时，y=-3，即点B的坐标为（0，-3）
当y=0时，x=4，即点A的坐标为（4，0），
∵抛物线y=x²+bx+c经过点A，B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16+4b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{13}{4}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-$\frac{13}{4}$x-3；

（2）如图1，延长NM交x轴于点C，

∵点A的坐标为（4，0），
∴OA=4
设点M的横坐标为m，则M（m，$\frac{3}{4}$m-3）（0≤m≤4），N（m，m²-$\frac{13}{4}$m-3），
∴MN=（$\frac{3}{4}$m-3）-（m²-$\frac{13}{4}$m-3）=-m²+4m，
S=S_△BMN+S_△AMN=$\frac{1}{2}$MN•OC+$\frac{1}{2}$MN•AC
=$\frac{1}{2}$MN•（OC+AC）
=$\frac{1}{2}$MN•OA
=2MN
=2（-m²+4m）=-2（m-2）²+8
∵a=-2＜0，0≤m≤4，
∴当m=2时，S存在最大值，最大值为8；

（3）t=$\frac{11}{16}$或t=$\frac{21}{16}$，
如图2，当M在点N的上方时，过点M作MC⊥y轴，垂足为点C，则∠MCB=90°，

∵A（4，0）、B（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∵∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴sin∠ABO=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{4}{5}$
在Rt△BCM中，∵MB=5t，
∴MC=MB•sin∠ABO=5t•$\frac{4}{5}$=4t
∴点M的横坐标是4t，点N横坐标为4t，
∴y_M=$\frac{3}{4}$×4t-3=3t-3，y_N=（4t）²-$\frac{13}{4}$×4t-3=16t²-13t-3，
∴MN=3t-3-（16t²-13t-3）=-16t²+16t
当MB=MN时，即5t=-16t²+16t，
解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{11}{16}$，
∴t=$\frac{11}{16}$；
如图3，当点M在点N的下方时，过点M作MC⊥y轴，垂足为点C，

易得y_M=$\frac{3}{4}$×4t-3=3t-3，y_N=（4t）²-$\frac{13}{4}$×4t-3=16t²-13t-3，
∴MN=16t²-13t-3-（3t-3）=16t²-16t，
当MB=MN时，即5t=16t²-16t，
解得t₃=0（舍去），t₄=$\frac{21}{16}$
综上所述，符合条件的t值为$\frac{11}{16}$或$\frac{21}{16}$．

点评 本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、二次函数的性质及解一元二次方程的能力是解题的关键．