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    如图：⊙O为△ABC的外接圆，∠C=60°，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P，∠APC的平分线和AC、BC分别相交于D、E．
    （1）证明：△CDE是等边三角形；
    （2）证明：PD•DE=PE•AD；
    （3）若PC=7，S△PCE=
    15
    		3
    4
    ，求作以PE、DE的长为根的一元二次方程；
    （4）试判断E点是否能成为PD的中点？若能，请说明必需满足的条件，精英家教网同时给出证明；若不能，请说明理由．
    分析：（1）本题可通过证明△CEP和△APD相似，得出∠CED和∠CDE的补角相等，然后根据∠DCE=60°得出三角形CDE是等边三角形的结论；
    （2）本题实际上求的是△PEC和△PDA相似，由于（1）中已经证得，那么可得出的线段的关系是PD•CE=PE•AD，由于三角形CDE是等边三角形，因此将相等的边置换后即可得出本题的结论；
    （3）本题要求的实际是PE+DE和PE•DE的值，根据△PCE的面积我们可以用PE•DE•sin60°÷2来表示，那么可得出PE•DE的值，通过△PCE和△PDC相似可得出PC2=PE（PE+DE）=PE2+PE•DE，而PC已知，那么可得出PE的值，也就求出了DE的值，可得出PE+DE的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可得出所求的方程；
    （4）若E是PD中点，那么PE=DE=CE，因此∠ECP=∠P=30°，那么∠ACP=90°，由于PC是圆的切线，因此AC应该是圆的直径．所以当AC是圆的直径时，E是PD的中点．
    解答：精英家教网（1）证明：连接OC．∵PC是圆的切线．
    ∴∠PCO=90°．
    ∵∧ACB=60°，⊙O是△ABC的外接圆，
    ∴∠ACO=∠BCO=30°，
    ∴∠PCB=∠PCO-∠BCO=60°，
    ∴∠PCB=∠A=∠ACB=60°
    ∵∠CPD=∠APD
    ∴△CEP∽△ADP
    ∴∠CEP=∠ADP
    ∴∠CDE=∠CED
    ∴CD=CE
    ∵∠C=60°
    ∴△CDE是等边三角形；

    （2）证明：由（1）可知：△CEP∽△ADP
    ∴PD•CE=PE•AD
    ∵△CDE是等边三角形
    ∴CE=DE
    ∴PD•DE=PE•AD；

    （3）解：∵S△PCE=
    1
    2
    PE•DE•sin60°=
    		3
    4
    •PE•DE=
    15
    		3
    4
    ，
    ∴PE•DE=15，
    ∵∠PCB=∠PDC=60°，∠CPD=∠EPC，
    ∴△CPD∽△EPC，
    ∴PC2=PE•PD=PE（PE+DE）=PE2+PE•DE=PE2+15=49，
    ∴PE=
    		34
    ，
    ∴DE=
    15
    		34
    34
    ，
    PE+DE=
    49
    		34
    34
    ，
    ∴以PE，DE为根的一元二次方程应该是x2-
    49
    		34
    34
    x+15=0，
    即：34x2-49
    		34
    x+510=0；

    （4）解：当AC是圆的直径时，E是PD的中点．
    证明：∵PC是圆的切线，AC是直径
    ∴∠ACP=∠ABC=90°，∠PCE=∠A
    ∵∠ACB=∠DEC=60°
    ∴∠A=30°，∠PCE+∠EPC=60°
    ∵∠PCE=∠A
    ∴∠PCE=∠EPC=30°
    ∴CE=PE
    ∵△CDE是等边三角形
    ∴CE=PE=DE
    即E是PD的中点．
    点评：本题主要考查了切线的性质，一元二次方程根与系数的关系以及圆周角定理等知识点，通过得出的等边三角形得出角和边相等是解题的关键．
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