Question

14．如图（1），在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，E恰为BC的中点，tanB=2．
（1）求证：AD=AE；
（2）如图（2），点P在线段BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF，求证：DF-EF=$\sqrt{2}$AF

Answer 1

分析 （1）解直角三角形求出AE=2BE，求出BC=2BE，推出BC=AE，根据平行四边形的性质得出即可；
（2）作AM⊥AF，交DP于M，∠MAF=90°，求出∠DAM=∠FAE，∠ADM=∠AEF，根据ASA推出△ADM≌△AEF，推出AM=AF，DM=EF，根据勾股定理求出MF=$\sqrt{2}$AF即可．

解答 证明：（1）如图1，

∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∵tanB=2，
∴$\frac{AE}{BE}$=2，
∴AE=2BE，
∵E为BC的中点，
∴BC=2BE，
∴AE=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴AD=AE；

（2）如图2，作AM⊥AF，交DP于M，

则∠MAF=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠DAE=∠MAF=90°，
∴∠DAM=∠FAE=90°-∠MAE，
∵AE⊥BC，EF⊥DP，
∴∠AEP=∠EFP=90°，
∴∠AEF+∠PEF=90°，∠PEF+∠FPE=90°，
∴∠AEF=∠FPE，
∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠FPE，
∴∠ADM=∠AEF，
在△ADM和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠EAF}\\{AD=AE}\\{∠ADM=∠AEF}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△AEF，
∴AM=AF，DM=EF，
∴DP-EF=MF，
在Rt△FAM中，∠MAF=90°，AM=AF，由勾股定理得：MF=$\sqrt{2}$AF，
即DF-EF=$\sqrt{2}$AF．

点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．