分析 (1)解直角三角形求出AE=2BE,求出BC=2BE,推出BC=AE,根据平行四边形的性质得出即可;
(2)作AM⊥AF,交DP于M,∠MAF=90°,求出∠DAM=∠FAE,∠ADM=∠AEF,根据ASA推出△ADM≌△AEF,推出AM=AF,DM=EF,根据勾股定理求出MF=$\sqrt{2}$AF即可.
解答 证明:(1)如图1,
∵AE⊥BC,
∴∠AEB=90°,
∵tanB=2,
∴$\frac{AE}{BE}$=2,
∴AE=2BE,
∵E为BC的中点,
∴BC=2BE,
∴AE=BC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,
∴AD=AE;
(2)如图2,作AM⊥AF,交DP于M,
则∠MAF=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∵AE⊥BC,
∴AE⊥AD,
∴∠DAE=∠MAF=90°,
∴∠DAM=∠FAE=90°-∠MAE,
∵AE⊥BC,EF⊥DP,
∴∠AEP=∠EFP=90°,
∴∠AEF+∠PEF=90°,∠PEF+∠FPE=90°,
∴∠AEF=∠FPE,
∵AD∥BC,
∴∠ADM=∠FPE,
∴∠ADM=∠AEF,
在△ADM和△AEF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠EAF}\\{AD=AE}\\{∠ADM=∠AEF}\end{array}\right.$,
∴△ADM≌△AEF,
∴AM=AF,DM=EF,
∴DP-EF=MF,
在Rt△FAM中,∠MAF=90°,AM=AF,由勾股定理得:MF=$\sqrt{2}$AF,
即DF-EF=$\sqrt{2}$AF.
点评 本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的性质和判定,勾股定理,解直角三角形的应用,能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键,综合性比较强,难度偏大.
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A. | (a+b)(a-b)=a2-b2 | B. | a2-b2=(a-b)(a+b) | C. | (a-b)2=a2-2ab+b2 | D. | a2-2ab+b2=(a-b)2 |
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A. | R | B. | $\frac{1}{2}R$ | C. | 2R | D. | 3R |
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