Question

如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=-x+b也随之移动，设移动时间为t秒．
（1）当直线l 经过点N时，求t的值；
（2）当点M关于l的对称点落在坐标轴上时，请求出t值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）把点N的坐标代入直线解析式求出b值，再根据一次函数与几何变换列式计算即可求出t值；
（2）过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，根据直线l的解析式的k值判断出点E、F为点M在坐标轴上的对称点，再过点M作MD⊥x轴于点D，求出OD、MD，然后判断出△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，从而求出ME=DE，OE=OF，得到点E、F的坐标，然后根据等腰直角三角形的性质分两种情况求出直线l经过的点，再代入直线解析式求出b值，然后列式计算即可求出t值．

解答：解：（1）∵直线y=-x+b经过点N（4，4），
∴-4+b=4，
解得b=8，
故t=8-1=7；

（2）如图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点，
过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2，
∵直线l与坐标轴的夹角为45°，
∴∠MED=∠OEF=45°，
∴△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，
∴DE=MD=2，OE=OF=1，
∴E（1，0），F（0，-1），
∵M（3，2），F（0，-1），
∴直线y=-x+b过点（3，-1），
则b=2，2=1+t，
解得t=1；
∵M（3，2），E（1，0），
∴直线y=-x+b过点（3，0），
则b=3，3=1+t，
解得t=2，
故点M关于l的对称点，当t=1时，落在y轴上，当t=2时，落在x轴上．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于（2）判断出点M的对称点的坐标并求出直线l经过的点的坐标．